Bài 3:
a. $\overline{3x4y}$ chia hết cho 9;5
- Để $\overline{3x4y}$ chia hết cho 5 thì y = 0 hoặc y = 5
- Nếu y = 0 thì $\overline{3x40}$ chia hết cho 9 nên 3 + x + 4 + 0 chia hết cho 9 hay 7 + x chia hết cho 9. Suy ra x = 2
- Nếu y = 5 thì $\overline{3x45}$ chia hết cho 9 nên 3 + x + 4 + 5 chia hết cho 9 hay 12 + x chia hết cho 9. Suy ra x = 6
Vậy x = 2; y = 0 hoặc x = 6; y = 5
b. $\overline{1x8y}$ chia hết cho 2;3
- Để $\overline{1x8y}$ chia hết cho 2 thì y = 0; 2; 4; 6; 8
- Để $\overline{1x8y}$ chia hết cho 3 thì 1 + x + 8 + y chia hết cho 3 hay 9 + x + y chia hết cho 3
+ Với y = 0 thì 9 + x + 0 chia hết cho 3 hay 9 + x chia hết cho 3. Suy ra x = 0; 3; 6; 9
+ Với y = 2 thì 9 + x + 2 chia hết cho 3 hay 11 + x chia hết cho 3. Suy ra x = 1; 4; 7
+ Với y = 4 thì 9 + x + 4 chia hết cho 3 hay 13 + x chia hết cho 3. Suy ra x = 2; 5; 8
+ Với y = 6 thì 9 + x + 6 chia hết cho 3 hay 15 + x chia hết cho 3. Suy ra x = 0; 3; 6; 9
+ Với y = 8 thì 9 + x + 8 chia hết cho 3 hay 17 + x chia hết cho 3. Suy ra x = 1; 4; 7
Vậy x = 0; 3; 6; 9 và y = 0 hoặc x = 1; 4; 7 và y = 2 hoặc x = 2; 5; 8 và y = 4 hoặc x = 0; 3; 6; 9 và y = 6 hoặc x = 1; 4; 7 và y = 8
c. $\overline{2x4y}$ chia hết cho 2;3;5;9
- Để $\overline{2x4y}$ chia hết cho 2;5 thì y = 0
- Để $\overline{2x40}$ chia hết cho 3;9 thì 2 + x + 4 + 0 chia hết cho 3;9 hay 6 + x chia hết cho 3;9. Suy ra x = 3
Vậy x = 3; y = 0
d. $\overline{178x}$ chia hết cho 2 nhưng chia cho 5 dư 4
- Để $\overline{178x}$ chia hết cho 2 thì x = 0; 2; 4; 6; 8
- Để $\overline{178x}$ chia cho 5 dư 4 thì x = 4 hoặc x = 9
Vậy x = 4
Bài 4:
a. Số tự nhiên a thỏa mãn \( a \in B(3) \) và \( 21 \leq a \leq 65 \)
Bội số của 3 trong khoảng từ 21 đến 65 là: 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63.
Vậy các số tự nhiên a thỏa mãn điều kiện trên là: 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63.
b. Số tự nhiên a thỏa mãn \( a \in Ư(30) \) và \( a \geq 0 \)
Ước số của 30 là: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Vậy các số tự nhiên a thỏa mãn điều kiện trên là: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
c. Số tự nhiên a thỏa mãn \( 20 \vdots (a - 1) \)
Ta có \( 20 \vdots (a - 1) \) nên \( a - 1 \) phải là ước số của 20.
Ước số của 20 là: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Do đó, \( a - 1 \) có thể là 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Vậy \( a \) có thể là: 2, 3, 5, 6, 11, 21.
d. Số tự nhiên a thỏa mãn \( 70 \vdots a \); \( 84 \vdots a \) và \( a > 8 \)
Ta có \( 70 \vdots a \) và \( 84 \vdots a \) nên \( a \) phải là ước số chung của 70 và 84.
Ước số chung của 70 và 84 là: 1, 2, 7, 14.
Vì \( a > 8 \) nên \( a \) có thể là: 14.
e. Số tự nhiên a thỏa mãn \( (60 + a) \vdots 4 \) và \( 8 \leq a \leq 20 \)
Ta có \( (60 + a) \vdots 4 \) nên \( 60 + a \) phải là bội số của 4.
Bội số của 4 gần 60 nhất là 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100.
Do đó, \( a \) có thể là: 0, 4, 8, 12, 16, 20.
Vì \( 8 \leq a \leq 20 \) nên \( a \) có thể là: 8, 12, 16, 20.
f. Số tự nhiên a thỏa mãn \( a \cdot (a + 1) = 6 \)
Ta có \( a \cdot (a + 1) = 6 \).
Thử các giá trị của \( a \):
- Nếu \( a = 1 \): \( 1 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 \neq 6 \)
- Nếu \( a = 2 \): \( 2 \cdot (2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6 \)
Vậy \( a = 2 \).
Đáp số:
a. 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63.
b. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
c. 2, 3, 5, 6, 11, 21.
d. 14.
e. 8, 12, 16, 20.
f. 2.
Bài 5:
a. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 84; 145; 168; 115; 310; 2025 .
- Phân tích số 84 ra thừa số nguyên tố:
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |
Vậy 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
- Phân tích số 145 ra thừa số nguyên tố:
145 | 5
29 | 29
1 |
Vậy 145 = 5 × 29
- Phân tích số 168 ra thừa số nguyên tố:
168 | 2
84 | 2
42 | 2
21 | 3
7 | 7
1 |
Vậy 168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2³ × 3 × 7
- Phân tích số 115 ra thừa số nguyên tố:
115 | 5
23 | 23
1 |
Vậy 115 = 5 × 23
- Phân tích số 310 ra thừa số nguyên tố:
310 | 2
155 | 5
31 | 31
1 |
Vậy 310 = 2 × 5 × 31
- Phân tích số 2025 ra thừa số nguyên tố:
2025 | 3
675 | 3
225 | 3
75 | 3
25 | 5
5 | 5
1 |
Vậy 2025 = 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 3⁴ × 5²
b. Tìm $ƯCLN(32,48),$ từ đó tìm $ƯC(32,48).$
- Phân tích số 32 ra thừa số nguyên tố:
32 | 2
16 | 2
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 |
Vậy 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁵
- Phân tích số 48 ra thừa số nguyên tố:
48 | 2
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 |
Vậy 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3
- Tìm ƯCLN(32, 48):
Các thừa số nguyên tố chung của 32 và 48 là 2.
Số mũ nhỏ nhất của thừa số 2 là 4.
Vậy ƯCLN(32, 48) = 2⁴ = 16
- Tìm ƯC(32, 48):
Các ước chung của 32 và 48 là các ước của 16.
Vậy ƯC(32, 48) = {1, 2, 4, 8, 16}