Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1: Để xác định công thức nào đúng trong các công thức đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một cách chi tiết. A. $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \sin b \cos a$ - Công thức này là đúng vì nó chính là công thức biến đổi sin của hiệu hai góc: \[ \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \] B. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$ - Công thức này cũng đúng vì nó chính là công thức biến đổi cos của tổng hai góc: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] C. $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a$ - Công thức này đúng vì nó chính là công thức biến đổi sin của tổng hai góc: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] D. $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b + \cos a \cos b + \sin a \sin b$ - Công thức này sai vì nó không đúng với công thức biến đổi cos của tổng hai góc. Thực tế, công thức đúng là: \[ \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \] và không có thêm các hạng tử $\cos a \cos b + \sin a \sin b$. Vậy, các công thức đúng là A, B và C. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta chỉ cần chọn một công thức đúng. Do đó, chúng ta chọn công thức A: Đáp án: A. $\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ Câu 2: Để xác định mệnh đề nào sau đây đúng, chúng ta cần kiểm tra từng công thức cho \(\tan(x - y)\). A. \( \tan(x - y) = \frac{\tan x + \sin y}{\sin x \tan y} \) Ta biết rằng: \[ \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \] So sánh với công thức trong đáp án A: \[ \frac{\tan x + \sin y}{\sin x \tan y} \neq \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \] Do đó, đáp án A sai. B. \( \tan(x - y) = \frac{\text{tab}.x - \text{bam}.y}{8 = 5\text{ab}.x + 1\text{am}.y} \) Đáp án này không có ý nghĩa toán học rõ ràng và không thể so sánh với công thức chuẩn của \(\tan(x - y)\). Do đó, đáp án B sai. C. \( \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 - \cos x \cos y} \) So sánh với công thức chuẩn: \[ \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \] Rõ ràng: \[ \frac{\tan x - \tan y}{1 - \cos x \cos y} \neq \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} \] Do đó, đáp án C sai. D. \( \tan(x - y) = \frac{m + 1.x - 1m + y}{x + x - m + y} \) Đáp án này cũng không có ý nghĩa toán học rõ ràng và không thể so sánh với công thức chuẩn của \(\tan(x - y)\). Do đó, đáp án D sai. Kết luận: Tất cả các đáp án đều sai. Câu 3: Để xác định công thức đúng trong các công thức đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng công thức một cách chi tiết. 1. Kiểm tra công thức A: \[ \sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b \] Đây là công thức sai vì công thức đúng của \(\sin(a+b)\) là: \[ \sin(a+b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \] 2. Kiểm tra công thức B: \[ \cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \] Công thức này viết sai thành: \[ cm(a+b) = c.a + c.c.c.b + s.a + s.a + b \] Vì vậy, công thức B cũng sai. 3. Kiểm tra công thức C: \[ \sin(a-b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b \] Đây là công thức sai vì công thức đúng của \(\sin(a-b)\) là: \[ \sin(a-b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b \] 4. Kiểm tra công thức D: \[ \cos(a-b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \] Đây là công thức đúng. Vậy, công thức đúng là: \[ \boxed{D} \] Câu 4: Để xác định phát biểu nào sau đây đúng về công thức của \(\tan(\alpha + \beta)\) và \(\tan(\alpha - \beta)\), chúng ta sẽ sử dụng các công thức đã biết trong lượng giác. 1. Công thức cộng của \(\tan\) là: \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \] và \[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}. \] 2. Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh các công thức này với các lựa chọn A, B, C và D. - Lựa chọn A: \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\cos \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \] Đây không phải là công thức đúng vì tử số không phải là \(\tan \alpha + \tan \beta\). - Lựa chọn B: \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{1 + \tan \alpha - \tan \beta}{\tan \beta} \] Đây cũng không phải là công thức đúng vì mẫu số không phải là \(1 - \tan \alpha \tan \beta\). - Lựa chọn C: \[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \] Đây là công thức đúng. - Lựa chọn D: \[ \tan(\alpha - \beta) = \frac{1 - \tan \alpha \tan \beta}{\tan \alpha} \] Đây không phải là công thức đúng vì tử số không phải là \(\tan \alpha - \tan \beta\). Vậy, phát biểu đúng là: \[ C.~\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha.\tan\beta}. \] Câu 5: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản. Cụ thể, ta sẽ sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \[ \cos x \cos y = \frac{1}{2} [\cos(x+y) + \cos(x-y)] \] \[ \sin x \sin y = \frac{1}{2} [\cos(x-y) - \cos(x+y)] \] Theo đề bài, ta có phương trình: \[ \cos x \cos y = \sin x \sin y \] Thay các công thức trên vào phương trình, ta có: \[ \frac{1}{2} [\cos(x+y) + \cos(x-y)] = \frac{1}{2} [\cos(x-y) - \cos(x+y)] \] Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số, ta được: \[ \cos(x+y) + \cos(x-y) = \cos(x-y) - \cos(x+y) \] Chuyển vế, ta có: \[ \cos(x+y) + \cos(x+y) = \cos(x-y) - \cos(x-y) \] \[ 2\cos(x+y) = 0 \] Suy ra: \[ \cos(x+y) = 0 \] Vậy biểu thức $\cos x \cos y = \sin x \sin y$ tương đương với $\cos(x+y) = 0$. Do đó, đáp án đúng là: B. \(\cos(x+y)\) Câu 6: Để tính \(\tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\) khi biết \(m\alpha = 2\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\alpha\): Ta có \(m\alpha = 2\). Giả sử \(m\) là hằng số và \(\alpha\) là biến số. Để đơn giản, giả sử \(m = 1\), thì \(\alpha = 2\). 2. Sử dụng công thức cộng góc cho tang: Công thức cộng góc cho tang là: \[ \tan(a - b) = \frac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \tan b} \] Áp dụng công thức này cho \(\tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\): \[ \tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \alpha - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}} \] 3. Thay giá trị \(\tan \frac{\pi}{4}\): Ta biết rằng \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\). Do đó: \[ \tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha \cdot 1} = \frac{\tan \alpha - 1}{1 + \tan \alpha} \] 4. Tìm giá trị của \(\tan \alpha\): Vì \(\alpha = 2\), ta cần biết giá trị của \(\tan 2\). Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp thông tin cụ thể về \(\tan 2\), ta giả sử \(\tan 2 = t\). 5. Thay giá trị \(\tan 2\) vào công thức: \[ \tan\left(2 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{t - 1}{1 + t} \] 6. Kiểm tra các đáp án: Ta cần kiểm tra các đáp án để tìm giá trị phù hợp. Giả sử \(t = 2\): \[ \tan\left(2 - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3} \] Vậy, giá trị của \(\tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)\) là \(\frac{1}{3}\). Đáp án đúng là: \(D.~\frac{1}{3}\). Câu 7: Để tính giá trị của \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})\) biết \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định \(\cos \alpha\): Vì \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), nên \(\cos \alpha\) sẽ âm. Ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) vào, ta được: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \implies \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Do đó: \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] 2. Sử dụng công thức cộng góc để tính \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})\): \[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{6} \] Ta biết rằng: \[ \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta có: \[ \cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{2} \] \[ = -\frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{6} + \frac{1}{6} \] \[ = -\frac{2\sqrt{6}}{6} + \frac{1}{6} \] \[ = \frac{-2\sqrt{6} + 1}{6} \] \[ = \frac{1 - 2\sqrt{6}}{6} \] Vậy giá trị của \(\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})\) là \(\boxed{\frac{1 - 2\sqrt{6}}{6}}\). Câu 8: Để tính giá trị của $\cos(\alpha - \beta)$, ta sử dụng công thức: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \] Bước 1: Tìm $\cos\alpha$ Ta có $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, do đó $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai, nơi mà $\cos\alpha < 0$. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay $\sin\alpha = \frac{5}{13}$ vào, ta có: \[ \left(\frac{5}{13}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{25}{169} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] Vì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ hai, $\cos\alpha < 0$, nên: \[ \cos\alpha = -\frac{12}{13} \] Bước 2: Tìm $\sin\beta$ Ta có $\cos\beta = \frac{3}{5}$ và $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$, do đó $\beta$ thuộc góc phần tư thứ nhất, nơi mà $\sin\beta > 0$. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 \] Thay $\cos\beta = \frac{3}{5}$ vào, ta có: \[ \sin^2\beta + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\beta + \frac{9}{25} = 1 \] \[ \sin^2\beta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] Vì $\beta$ thuộc góc phần tư thứ nhất, $\sin\beta > 0$, nên: \[ \sin\beta = \frac{4}{5} \] Bước 3: Tính $\cos(\alpha - \beta)$ Áp dụng công thức: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ \cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \frac{3}{5} + \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} \] \[ = -\frac{36}{65} + \frac{20}{65} \] \[ = -\frac{16}{65} \] Vậy, giá trị của $\cos(\alpha - \beta)$ là $-\frac{16}{65}$. Đáp án đúng là D. $-\frac{16}{65}$. Câu 9: Để tính $\tan(\alpha + \frac{\pi}{3})$, trước tiên chúng ta cần tìm $\cos\alpha$ và $\tan\alpha$. 1. Tìm $\cos\alpha$: Ta có $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Trong khoảng này, $\cos\alpha < 0$. Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \cos\alpha = -\frac{4}{5} \quad (\text{vì } \cos\alpha < 0) \] 2. Tìm $\tan\alpha$: \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \] 3. Tính $\tan(\alpha + \frac{\pi}{3})$: Sử dụng công thức cộng của tang: \[ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} \] Với $\beta = \frac{\pi}{3}$, ta có $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Áp dụng công thức: \[ \tan(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{-\frac{3}{4} + \sqrt{3}}{1 - \left(-\frac{3}{4}\right)\sqrt{3}} \] \[ = \frac{-\frac{3}{4} + \sqrt{3}}{1 + \frac{3\sqrt{3}}{4}} \] \[ = \frac{-\frac{3}{4} + \frac{4\sqrt{3}}{4}}{\frac{4}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4}} \] \[ = \frac{\frac{-3 + 4\sqrt{3}}{4}}{\frac{4 + 3\sqrt{3}}{4}} \] \[ = \frac{-3 + 4\sqrt{3}}{4 + 3\sqrt{3}} \] Nhân cả tử và mẫu với $4 - 3\sqrt{3}$ để khử căn ở mẫu: \[ = \frac{(-3 + 4\sqrt{3})(4 - 3\sqrt{3})}{(4 + 3\sqrt{3})(4 - 3\sqrt{3})} \] \[ = \frac{(-3)(4) + (-3)(-3\sqrt{3}) + (4\sqrt{3})(4) - (4\sqrt{3})(3\sqrt{3})}{16 - (3\sqrt{3})^2} \] \[ = \frac{-12 + 9\sqrt{3} + 16\sqrt{3} - 36}{16 - 27} \] \[ = \frac{-48 + 25\sqrt{3}}{-11} \] \[ = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{11} \] Vậy, $\tan(\alpha + \frac{\pi}{3}) = \frac{48 - 25\sqrt{3}}{11}$. Đáp án đúng là D. Câu 10: Để tìm giá trị của \(\cos(\alpha + b)\), ta sử dụng công thức cộng góc: \[ \cos(\alpha + b) = \cos\alpha \cos b - \sin\alpha \sin b \] Bước 1: Tìm \(\sin\alpha\) Ta biết \(\cos\alpha = \frac{3}{4}\) và \(\sin\alpha > 0\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \] \[ \sin\alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \] Vì \(\sin\alpha > 0\), nên \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\). Bước 2: Tìm \(\cos b\) Ta biết \(\sin b = \frac{3}{5}\) và \(\cos b < 0\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \[ \sin^2 b + \cos^2 b = 1 \] \[ \cos^2 b = 1 - \sin^2 b = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \cos b = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \] Vì \(\cos b < 0\), nên \(\cos b = -\frac{4}{5}\). Bước 3: Tính \(\cos(\alpha + b)\) Thay các giá trị đã tìm được vào công thức: \[ \cos(\alpha + b) = \cos\alpha \cos b - \sin\alpha \sin b \] \[ = \left(\frac{3}{4}\right)\left(-\frac{4}{5}\right) - \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{3}{5}\right) \] \[ = -\frac{3 \times 4}{4 \times 5} - \frac{\sqrt{7} \times 3}{4 \times 5} \] \[ = -\frac{12}{20} - \frac{3\sqrt{7}}{20} \] \[ = -\frac{3}{5} - \frac{3\sqrt{7}}{20} \] Vậy, giá trị của \(\cos(\alpha + b)\) là \(-\frac{3}{5} - \frac{3\sqrt{7}}{20}\).