Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1: Cộng vế theo vế của hai phương trình ta có: $2x=6$ Suy ra $x=3.$ Thay vào phương trình $x+y=4$ ta có $y=1.$ Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(3;1)$ Do đó $T=2\times 3+3\times 1=9.$ Câu 2: Điều kiện xác định: \( x \neq -1; x \neq \frac{3}{7} \) Ta có: \[ \frac{2}{1+x} = \frac{1}{3-7x} \] Nhân chéo để giải phương trình: \[ 2(3 - 7x) = 1(1 + x) \] \[ 6 - 14x = 1 + x \] Chuyển \( x \) sang vế trái và chuyển hằng số sang vế phải: \[ 6 - 1 = 14x + x \] \[ 5 = 15x \] Chia cả hai vế cho 15: \[ x = \frac{5}{15} \] \[ x = \frac{1}{3} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \[ x = \frac{1}{3} \neq -1 \] \[ x = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{7} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = \frac{1}{3} \] Đáp án đúng là: \( D.~x = \frac{1}{3} \) Câu 3: Để tìm dây lớn nhất của một đường tròn, ta cần nhớ rằng dây lớn nhất của một đường tròn chính là đường kính của đường tròn đó. Cho đường tròn (O, 10cm), trong đó 10cm là bán kính của đường tròn. Đường kính của đường tròn được tính bằng công thức: \[ \text{Đường kính} = 2 \times \text{Bán kính} \] Thay bán kính vào công thức, ta có: \[ \text{Đường kính} = 2 \times 10 = 20 \, \text{cm} \] Vậy dây lớn nhất của đường tròn có độ dài là 20 cm. Đáp án đúng là: D. 20. Câu 4: Để mô tả tình huống "Trên xe buýt có tối đa 50 người", chúng ta cần chọn một bất đẳng thức sao cho số người trên xe buýt không vượt quá 50. - Đáp án A: \( x < 50 \) mô tả trường hợp số người trên xe buýt ít hơn 50, nhưng không bao gồm trường hợp đúng bằng 50. - Đáp án B: \( x \leq 50 \) mô tả trường hợp số người trên xe buýt ít hơn hoặc bằng 50, tức là bao gồm cả trường hợp đúng bằng 50. - Đáp án C: \( x > 50 \) mô tả trường hợp số người trên xe buýt nhiều hơn 50, không phù hợp với yêu cầu của đề bài. - Đáp án D: \( x \geq 50 \) mô tả trường hợp số người trên xe buýt nhiều hơn hoặc bằng 50, cũng không phù hợp với yêu cầu của đề bài. Do đó, đáp án đúng là: \( B.~x \leq 50 \) Giải thích: Số người trên xe buýt có thể là 50 hoặc ít hơn 50, do đó bất đẳng thức \( x \leq 50 \) mô tả chính xác tình huống "Trên xe buýt có tối đa 50 người". Câu 5: Để xác định vị trí tương đối của hai đường tròn \((O; R)\) và \((O'; R')\), ta cần so sánh khoảng cách giữa hai tâm \(OO'\) với tổng và hiệu của bán kính hai đường tròn. Cho \(OO' = 12\), \(R = 3\), \(R' = 9\). 1. Tính tổng bán kính: \(R + R' = 3 + 9 = 12\). 2. Tính hiệu bán kính: \(|R - R'| = |3 - 9| = 6\). So sánh \(OO'\) với \(R + R'\) và \(|R - R'|\): - \(OO' = 12\) bằng \(R + R' = 12\). - \(OO' = 12\) lớn hơn \(|R - R'| = 6\). Khi \(OO' = R + R'\), hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau. Vậy, vị trí tương đối của hai đường tròn là: (O; R) tiếp xúc ngoài với (O'; R'). Đáp án đúng là C. (O; R) tiếp xúc ngoài với (O'; R'). Câu 6: Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để tìm ra đáp án đúng. A. \(2a < 2b\) - Vì \(a > b\), nhân cả hai vế với 2 ta được \(2a > 2b\). Vậy đáp án này sai. B. \(-3a < -3b\) - Vì \(a > b\), nhân cả hai vế với -3 (lưu ý rằng khi nhân với số âm, bất đẳng thức đổi chiều) ta được \(-3a < -3b\). Vậy đáp án này đúng. C. \(-2a > -2b\) - Vì \(a > b\), nhân cả hai vế với -2 (lưu ý rằng khi nhân với số âm, bất đẳng thức đổi chiều) ta được \(-2a < -2b\). Vậy đáp án này sai. D. \(a - 5 < b - 5\) - Vì \(a > b\), trừ cả hai vế với 5 ta được \(a - 5 > b - 5\). Vậy đáp án này sai. Vậy đáp án đúng là: \(B. -3a < -3b\) Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xem xét phương trình của đường thẳng \(d\) là \((m-2)x + (m-3)y = 5\). a) Xét \(m = 2\): Khi \(m = 2\), phương trình đường thẳng trở thành: \[ (2-2)x + (2-3)y = 5 \Rightarrow -y = 5 \Rightarrow y = -5 \] Đây là một đường thẳng song song với trục hoành vì nó có dạng \(y = -5\), không phụ thuộc vào \(x\). b) Xét \(m = 0\): Khi \(m = 0\), phương trình đường thẳng trở thành: \[ (0-2)x + (0-3)y = 5 \Rightarrow -2x - 3y = 5 \] Để đường thẳng song song với trục tung, hệ số của \(y\) phải bằng 0. Tuy nhiên, trong trường hợp này, hệ số của \(y\) là \(-3\), không bằng 0. Do đó, đường thẳng không song song với trục tung. c) Xét \(m = 3\): Khi \(m = 3\), phương trình đường thẳng trở thành: \[ (3-2)x + (3-3)y = 5 \Rightarrow x = 5 \] Đây là một đường thẳng song song với trục tung vì nó có dạng \(x = 5\), không phụ thuộc vào \(y\). d) Xét \(m = 3\): Khi \(m = 3\), phương trình đường thẳng trở thành: \[ (3-2)x + (3-3)y = 5 \Rightarrow x = 5 \] Như đã phân tích ở phần c), đây là một đường thẳng song song với trục tung, không phải trục hoành. Tóm lại: - a) Đúng, \(m = 2\) khi đường thẳng song song với trục hoành. - b) Sai, \(m = 0\) không làm cho đường thẳng song song với trục tung. - c) Đúng, \(m = 3\) khi đường thẳng song song với trục tung. - d) Sai, \(m = 3\) không làm cho đường thẳng song song với trục hoành. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần kiểm tra từng điều kiện đã cho và xác định xem điều kiện nào đúng. Cho tam giác vuông $\Delta ABC$ vuông tại A, có AH là đường cao $(H\in BC)$. Biết $AB=3~cm,~BC=5~cm$. Trước tiên, ta cần tính độ dài cạnh $AC$ bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông $\Delta ABC$: \[ AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4~cm. \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng điều kiện: a) $CH^2 = \frac{AC^2}{BC}$ Ta cần tính $CH$. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ CH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}~cm. \] Kiểm tra điều kiện $CH^2 = \frac{AC^2}{BC}$: \[ CH^2 = \left(\frac{12}{5}\right)^2 = \frac{144}{25}. \] \[ \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5}. \] Nhận thấy $\frac{144}{25} \neq \frac{16}{5}$, do đó điều kiện a) không đúng. b) $\sin B = 0.6$ Trong tam giác vuông $\Delta ABC$, ta có: \[ \sin B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5} = 0.6. \] Điều kiện b) đúng. c) $BH = 1.8~cm$ Ta cần tính $BH$. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có: \[ BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8~cm. \] Điều kiện c) đúng. d) $\overline B = 40^\circ$ Ta đã tính $\sin B = 0.6$. Tra bảng giá trị lượng giác, ta thấy $\sin 37^\circ \approx 0.6$. Do đó, góc $B$ gần bằng $37^\circ$, không phải $40^\circ$. Điều kiện d) không đúng. Kết luận: Điều kiện đúng là b) và c). Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu. Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn lần lượt là \( x \) và \( y \) (đơn vị: mét, điều kiện: \( x > 0, y > 0 \)). Theo đề bài, chu vi của mảnh vườn là 22m, ta có phương trình: \[ 2(x + y) = 22 \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ x + y = 11 \quad (1) \] Tiếp theo, theo điều kiện thứ hai của bài toán, nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 2m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Điều này có nghĩa là: \[ x - 1 = y + 2 \] Rút gọn phương trình trên, ta được: \[ x - y = 3 \quad (2) \] Bây giờ, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + y = 11 \\ x - y = 3 \end{cases} \] Giải hệ phương trình này, ta cộng hai phương trình lại với nhau: \[ (x + y) + (x - y) = 11 + 3 \] \[ 2x = 14 \] \[ x = 7 \] Thay giá trị \( x = 7 \) vào phương trình (1): \[ 7 + y = 11 \] \[ y = 4 \] Vậy chiều dài của mảnh vườn là 7m và chiều rộng là 4m. Câu 2: Để tính độ dài \( OO' \), ta sử dụng định lý về đường trung trực của đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn cắt nhau. Giả sử \( OO' = d \). Theo định lý, ta có: 1. \( OA = 5 \) cm (bán kính đường tròn \( (O) \)). 2. \( O'A = 4 \) cm (bán kính đường tròn \( (O') \)). 3. \( AB = 6 \) cm. Theo định lý đường trung trực, \( A \) và \( B \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \( OO' \). Do đó, tam giác \( OAO' \) là tam giác vuông tại \( A \). Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( OAO' \): \[ OO'^2 = OA^2 + O'A^2 - AB^2 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ d^2 = 5^2 + 4^2 - 3^2 \] \[ d^2 = 25 + 16 - 9 \] \[ d^2 = 32 \] \[ d = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ d \approx 4 \times 1.414 = 5.656 \] Vậy độ dài \( OO' \) là khoảng \( 5.66 \) cm. Câu 3: Gọi số học sinh ban đầu là x (học sinh, điều kiện: x > 2). Giả sử tổng số tiền mua món quà là S (ngàn đồng). Nếu có thêm 2 học sinh thì mỗi học sinh tốn ít hơn 10 ngàn đồng: - Số học sinh mới là x + 2. - Mỗi học sinh tốn $\frac{S}{x+2}$ (ngàn đồng). - Ta có phương trình: $\frac{S}{x} - \frac{S}{x+2} = 10$. Nếu bớt đi 2 học sinh thì mỗi học sinh phải tốn thêm 20 ngàn đồng so với dự định: - Số học sinh mới là x - 2. - Mỗi học sinh tốn $\frac{S}{x-2}$ (ngàn đồng). - Ta có phương trình: $\frac{S}{x-2} - \frac{S}{x} = 20$. Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên: $\frac{S}{x} - \frac{S}{x+2} = 10$ $\frac{S(x+2) - Sx}{x(x+2)} = 10$ $\frac{2S}{x(x+2)} = 10$ $2S = 10x(x+2)$ $S = 5x(x+2)$. Từ phương trình thứ hai: $\frac{S}{x-2} - \frac{S}{x} = 20$ $\frac{Sx - S(x-2)}{x(x-2)} = 20$ $\frac{2S}{x(x-2)} = 20$ $2S = 20x(x-2)$ $S = 10x(x-2)$. Bây giờ ta có: $5x(x+2) = 10x(x-2)$ $5x^2 + 10x = 10x^2 - 20x$ $5x^2 + 10x - 10x^2 + 20x = 0$ $-5x^2 + 30x = 0$ $x(-5x + 30) = 0$. Ta có hai nghiệm: $x = 0$ (loại vì x > 2) $-5x + 30 = 0$ $-5x = -30$ $x = 6$. Vậy số học sinh ban đầu là 6 học sinh.