Tìm các hệ số $a,b,c$ sao cho $ax^3+bx^2+c$ chia hết cho $x+2$ và chia $x^2-1$ dư $x+5$.

Để đa thức \( ax^3 + bx^2 + c \) chia hết cho \( x + 2 \), ta có: \[ P(-2) = 0 \] \[ a(-2)^3 + b(-2)^2 + c = 0 \] \[ -8a + 4b + c = 0 \quad \text{(1)} \] Để đa thức \( ax^3 + bx^2 + c \) chia cho \( x^2 - 1 \) dư \( x + 5 \), ta có: \[ P(1) = 1 + 5 = 6 \] \[ a(1)^3 + b(1)^2 + c = 6 \] \[ a + b + c = 6 \quad \text{(2)} \] \[ P(-1) = -1 + 5 = 4 \] \[ a(-1)^3 + b(-1)^2 + c = 4 \] \[ -a + b + c = 4 \quad \text{(3)} \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình (1), (2), và (3): \[ -8a + 4b + c = 0 \quad \text{(1)} \] \[ a + b + c = 6 \quad \text{(2)} \] \[ -a + b + c = 4 \quad \text{(3)} \] Trừ phương trình (3) từ phương trình (2): \[ (a + b + c) - (-a + b + c) = 6 - 4 \] \[ 2a = 2 \] \[ a = 1 \] Thay \( a = 1 \) vào phương trình (2): \[ 1 + b + c = 6 \] \[ b + c = 5 \quad \text{(4)} \] Thay \( a = 1 \) vào phương trình (3): \[ -1 + b + c = 4 \] \[ b + c = 5 \quad \text{(5)} \] Phương trình (4) và (5) giống nhau, nên ta có: \[ b + c = 5 \] Thay \( a = 1 \) vào phương trình (1): \[ -8(1) + 4b + c = 0 \] \[ -8 + 4b + c = 0 \] \[ 4b + c = 8 \quad \text{(6)} \] Giải hệ phương trình (4) và (6): \[ b + c = 5 \] \[ 4b + c = 8 \] Trừ phương trình (4) từ phương trình (6): \[ (4b + c) - (b + c) = 8 - 5 \] \[ 3b = 3 \] \[ b = 1 \] Thay \( b = 1 \) vào phương trình (4): \[ 1 + c = 5 \] \[ c = 4 \] Vậy, các hệ số \( a, b, c \) là: \[ a = 1, b = 1, c = 4 \]