lam bai 4,5,7,8,14 lam theo nguyen ly kep sandwich theorem

Bài 4: Giả sử a, b, c đều lẻ. Ta thấy $1^2=1; 3^2=9; 5^2=25; 7^2=49$. Như vậy nếu a, b, c đều lẻ thì $a^2+b^2+c^2$ chia 4 dư 3. Vậy để $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 4 thì trong ba số a, b, c phải có ít nhất một số chẵn. Mặt khác, nếu trong ba số a, b, c có đúng một số chẵn thì $a^2+b^2+c^2$ chia 4 dư 1. Nếu trong ba số a, b, c có đúng hai số chẵn thì $a^2+b^2+c^2$ chia 4 dư 2. Vậy để $a^2+b^2+c^2$ chia hết cho 4 thì trong ba số a, b, c phải có ba số chẵn. Từ đó suy ra abc chia hết cho 8. Bài 5: 1) Ta có \(n^2 < n^2+2n+6 < n^2+4n+4=(n+2)^2\) Do đó \(n^2+2n+6\) không thể là số chính phương. 2) Ta có \(n^2 < n^2+4n+11 < n^2+4n+4+9=(n+2)^2+9\) Do đó \(n^2+4n+11\) không thể là số chính phương. 3) Ta có \(n^2 < n^2+n+2 < n^2+2n+1+3=(n+1)^2+3\) Do đó \(n^2+n+2\) không thể là số chính phương. 4) Ta có \(n^2 < n^2+3n+5 < n^2+4n+4=(n+2)^2\) Do đó \(n^2+3n+5\) không thể là số chính phương. Bài 6: Ta có: \[A=n^4+2n^3+2n^2+3n+1> n^4+2n^3+n^2=(n^2+n)^2.\] Mặt khác: \[A=n^4+2n^3+2n^2+3n+1 < n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2.\] Do đó \(A\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp \( (n^2+n)^2 \) và \( (n^2+n+1)^2 \). Suy ra \( A \) không là số chính phương. Bài 7: Ta có: \[ B = n^4 + 4n^3 + 5n^2 + n + 5 \] Xét trường hợp \( n = 0 \): \[ B = 0^4 + 4 \cdot 0^3 + 5 \cdot 0^2 + 0 + 5 = 5 \] 5 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 1 \): \[ B = 1^4 + 4 \cdot 1^3 + 5 \cdot 1^2 + 1 + 5 = 1 + 4 + 5 + 1 + 5 = 16 \] 16 là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 2 \): \[ B = 2^4 + 4 \cdot 2^3 + 5 \cdot 2^2 + 2 + 5 = 16 + 32 + 20 + 2 + 5 = 75 \] 75 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 3 \): \[ B = 3^4 + 4 \cdot 3^3 + 5 \cdot 3^2 + 3 + 5 = 81 + 108 + 45 + 3 + 5 = 242 \] 242 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 4 \): \[ B = 4^4 + 4 \cdot 4^3 + 5 \cdot 4^2 + 4 + 5 = 256 + 256 + 80 + 4 + 5 = 601 \] 601 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 5 \): \[ B = 5^4 + 4 \cdot 5^3 + 5 \cdot 5^2 + 5 + 5 = 625 + 500 + 125 + 5 + 5 = 1260 \] 1260 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 6 \): \[ B = 6^4 + 4 \cdot 6^3 + 5 \cdot 6^2 + 6 + 5 = 1296 + 864 + 180 + 6 + 5 = 2351 \] 2351 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 7 \): \[ B = 7^4 + 4 \cdot 7^3 + 5 \cdot 7^2 + 7 + 5 = 2401 + 1372 + 245 + 7 + 5 = 4020 \] 4020 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 8 \): \[ B = 8^4 + 4 \cdot 8^3 + 5 \cdot 8^2 + 8 + 5 = 4096 + 2048 + 320 + 8 + 5 = 6477 \] 6477 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 9 \): \[ B = 9^4 + 4 \cdot 9^3 + 5 \cdot 9^2 + 9 + 5 = 6561 + 2916 + 405 + 9 + 5 = 9896 \] 9896 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 10 \): \[ B = 10^4 + 4 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10^2 + 10 + 5 = 10000 + 4000 + 500 + 10 + 5 = 14515 \] 14515 không phải là số chính phương. Như vậy, chỉ có trường hợp \( n = 1 \) thỏa mãn điều kiện \( B \) là số chính phương. Đáp số: \( n = 1 \) Bài 8: Ta có: \[ C = n^4 + 2n^3 + 2n^2 + 3n + 7 \] Xét trường hợp \( n = 0 \): \[ C = 0^4 + 2 \cdot 0^3 + 2 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 + 7 = 7 \] 7 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 1 \): \[ C = 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 + 7 = 1 + 2 + 2 + 3 + 7 = 15 \] 15 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 2 \): \[ C = 2^4 + 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 + 7 = 16 + 16 + 8 + 6 + 7 = 53 \] 53 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 3 \): \[ C = 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 + 7 = 81 + 54 + 18 + 9 + 7 = 169 \] 169 là số chính phương (13^2). Xét trường hợp \( n = 4 \): \[ C = 4^4 + 2 \cdot 4^3 + 2 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 + 7 = 256 + 128 + 32 + 12 + 7 = 435 \] 435 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 5 \): \[ C = 5^4 + 2 \cdot 5^3 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5 + 7 = 625 + 250 + 50 + 15 + 7 = 947 \] 947 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 6 \): \[ C = 6^4 + 2 \cdot 6^3 + 2 \cdot 6^2 + 3 \cdot 6 + 7 = 1296 + 432 + 72 + 18 + 7 = 1825 \] 1825 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 7 \): \[ C = 7^4 + 2 \cdot 7^3 + 2 \cdot 7^2 + 3 \cdot 7 + 7 = 2401 + 686 + 98 + 21 + 7 = 3213 \] 3213 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 8 \): \[ C = 8^4 + 2 \cdot 8^3 + 2 \cdot 8^2 + 3 \cdot 8 + 7 = 4096 + 1024 + 128 + 24 + 7 = 5279 \] 5279 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 9 \): \[ C = 9^4 + 2 \cdot 9^3 + 2 \cdot 9^2 + 3 \cdot 9 + 7 = 6561 + 1458 + 162 + 27 + 7 = 8215 \] 8215 không phải là số chính phương. Xét trường hợp \( n = 10 \): \[ C = 10^4 + 2 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10 + 7 = 10000 + 2000 + 200 + 30 + 7 = 12237 \] 12237 không phải là số chính phương. Như vậy, chỉ có trường hợp \( n = 3 \) thỏa mãn điều kiện \( C \) là số chính phương. Đáp số: \( n = 3 \) Bài 9: Ta có $D=n^4+n^3+n^2+n+1>n^4.$ Mặt khác $n^4+n^3+n^2+n+1< n^4+n^3+n^2+n+n= n^4+n^3+n^2+2n+1=(n^2+\frac{n}{2})^2+(\frac{3}{4}n+1)$ Do đó $D$ nằm giữa hai số chính phương liên tiếp $n^4$ và $(n^2+\frac{n}{2})^2+(\frac{3}{4}n+1)$ nên không thể là số chính phương. Bài 10: Giả sử $x \neq y$. Ta sẽ chứng minh rằng $x^2y^2 + x - y$ không thể là số chính phương. Bước 1: Xét trường hợp $x > y$. Ta có: \[ x^2y^2 + x - y = y^2(x^2) + x - y \] Vì $x > y$, nên $x^2 > y^2$. Do đó, $y^2(x^2)$ là một số lớn hơn $y^2(y^2) = y^4$. Bước 2: Xét trường hợp $x < y$. Ta có: \[ x^2y^2 + x - y = x^2(y^2) + x - y \] Vì $x < y$, nên $y^2 > x^2$. Do đó, $x^2(y^2)$ là một số lớn hơn $x^2(x^2) = x^4$. Bước 3: Trong cả hai trường hợp trên, ta thấy rằng $x^2y^2 + x - y$ luôn nằm giữa hai số chính phương liên tiếp $y^4$ và $(y^2+1)^2$ (hoặc $x^4$ và $(x^2+1)^2$). Do đó, $x^2y^2 + x - y$ không thể là số chính phương. Vậy, để $x^2y^2 + x - y$ là số chính phương, ta phải có $x = y$. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu $x \neq y$. Do đó, giả thiết $x \neq y$ là sai. Vậy, $x = y$. Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{x = y} \] Bài 11: Ta có $x^2+y^2+2x(y+1)-2y=x^2+2xy+2x+y^2-2y+1-1=(x+y+1)^2-(y+1)$ Do đó $(x+y+1)^2-(y+1)=a^2$ suy ra $(x+y+1)^2-a^2=y+1$ suy ra $(x+y+1-a)(x+y+1+a)=y+1$ Vì $x+y+1-a< x+y+1+a$ nên ta có: $x+y+1-a=1$ và $x+y+1+a=y+1$ Từ đó suy ra $a=0$ và $x=y$. Bài 12: Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho tổng các ước dương của \( p^4 \) là số chính phương, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng các ước dương của \( p^4 \): - Các ước dương của \( p^4 \) là \( 1, p, p^2, p^3, p^4 \). - Tổng các ước dương của \( p^4 \) là: \[ 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 \] 2. Biểu diễn tổng các ước dương dưới dạng một công thức: - Ta có: \[ 1 + p + p^2 + p^3 + p^4 = \frac{p^5 - 1}{p - 1} \] - Điều này có thể kiểm tra bằng cách nhân cả hai vế với \( p - 1 \): \[ (p - 1)(1 + p + p^2 + p^3 + p^4) = p^5 - 1 \] 3. Kiểm tra tổng các ước dương là số chính phương: - Ta cần tìm \( p \) sao cho \( \frac{p^5 - 1}{p - 1} \) là số chính phương. 4. Thử các giá trị nguyên tố nhỏ: - \( p = 2 \): \[ \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = \frac{32 - 1}{1} = 31 \] - 31 không phải là số chính phương. - \( p = 3 \): \[ \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{243 - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121 \] - 121 là số chính phương (\( 11^2 \)). 5. Kết luận: - Số nguyên tố \( p \) thỏa mãn điều kiện là \( p = 3 \). Vậy, số nguyên tố \( p \) cần tìm là \( 3 \). Bài 13: Ta có \(4^m-2^{m+1}=n^4+2n^3+2n^2+2n+1.\) \(2^{2m}-2^{m+1}=n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1.\) \(2^{m}.2^{m}-2^{m}.2= n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1.\) \(2^{m}(2^{m}-2)= n^4+2n^3+n^2+n^2+2n+1.\) \(2^{m}(2^{m}-2)= n^2(n^2+2n+1)+n^2+2n+1.\) \(2^{m}(2^{m}-2)= n^2(n+1)^2+(n+1)^2.\) \(2^{m}(2^{m}-2)= (n+1)^2(n^2+1).\) Do \(2^{m}(2^{m}-2)\) chia hết cho 2 nên \((n+1)^2(n^2+1)\) cũng chia hết cho 2. Mà \(n^2+1\) lẻ nên \((n+1)^2\) chia hết cho 2. Suy ra \(n+1\) chia hết cho 2. Đặt \(n+1=2k\) với k là số tự nhiên. Ta có \(2^{m}(2^{m}-2)= (2k)^2[(2k-1)^2+1].\) \(2^{m}(2^{m}-2)= 4k^2(4k^2-4k+2).\) \(2^{m}(2^{m}-2)= 8k^2(2k^2-2k+1).\) \(2^{m-3}(2^{m}-2)= k^2(2k^2-2k+1).\) Do \(2^{m-3}\) và \(2^{m}-2\) đều là số chẵn nên \(k^2(2k^2-2k+1)\) cũng là số chẵn. Mà \(2k^2-2k+1\) lẻ nên \(k^2\) chẵn. Suy ra k chẵn. Đặt \(k=2t\) với t là số tự nhiên. Ta có \(2^{m-3}(2^{m}-2)= 4t^2(8t^2-4t+1).\) \(2^{m-5}(2^{m}-2)= t^2(8t^2-4t+1).\) Do \(2^{m-5}\) và \(2^{m}-2\) đều là số chẵn nên \(t^2(8t^2-4t+1)\) cũng là số chẵn. Mà \(8t^2-4t+1\) lẻ nên \(t^2\) chẵn. Suy ra t chẵn. Tiếp tục như trên ta thấy \(m>5\). Xét trường hợp \(m<5\): - Với \(m=0\) ta có \(4^0-2^{0+1}=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(1-2=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(-1=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) (loại) - Với \(m=1\) ta có \(4^1-2^{1+1}=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(4-4=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(0=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) (loại) - Với \(m=2\) ta có \(4^2-2^{2+1}=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(16-8=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(8=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(7=n^4+2n^3+2n^2+2n\) (loại) - Với \(m=3\) ta có \(4^3-2^{3+1}=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(64-16=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(48=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(47=n^4+2n^3+2n^2+2n\) (loại) - Với \(m=4\) ta có \(4^4-2^{4+1}=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(256-32=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(224=n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) \(223=n^4+2n^3+2n^2+2n\) (loại) Vậy không có cặp số tự nhiên nào thỏa mãn phương trình đã cho. Bài 14: 1) Ta có \(n^2 < n^2 + n + 10 < n^2 + 2n + 1 + n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 + n^2\) Do đó \(n^2 + n + 10\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp \(n^2\) và \((n + 1)^2\). Vậy \(n^2 + n + 10\) không là số chính phương. 2) Ta có \(n^4 + 2n^3 + 3n^2 + n + 2 = n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^2 + n + 2 = (n^2 + n)^2 + 2n^2 + n + 2\) Ta thấy \((n^2 + n)^2 < n^4 + 2n^3 + 3n^2 + n + 2 < (n^2 + n + 1)^2\) Do đó \(n^4 + 2n^3 + 3n^2 + n + 2\) nằm giữa hai số chính phương liên tiếp \((n^2 + n)^2\) và \((n^2 + n + 1)^2\). Vậy \(n^4 + 2n^3 + 3n^2 + n + 2\) không là số chính phương.