Giúp mìnhh

a. Để xác định năng suất cận biên (MPL, MPK) của các yếu tố đầu vào K và L, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm sản xuất Q theo K và L. Hàm sản xuất là: \[ Q = 2K(L - 2) \] **Năng suất cận biên của K (MPK):** \[ MPK = \frac{\partial Q}{\partial K} = 2(L - 2) \] **Năng suất cận biên của L (MPL):** \[ MPL = \frac{\partial Q}{\partial L} = 2K \] b. Để sản xuất ra mức sản lượng \( Q = 800 \) đơn vị sản phẩm, ta cần giải hệ phương trình: \[ 800 = 2K(L - 2) \] \[ K(L - 2) = 400 \] Với chi phí sản xuất tối thiểu là: \[ C = P_K \cdot K + P_L \cdot L = 40K + 10L \] Ta có thể diễn giải \( L \) từ phương trình sản xuất: \[ L = \frac{400}{K} + 2 \] Thay \( L \) vào công thức chi phí: \[ C = 40K + 10\left(\frac{400}{K} + 2\right) \] \[ C = 40K + \frac{4000}{K} + 20 \] Để tìm mức chi phí tối thiểu, ta cần tối ưu hóa hàm chi phí C theo K. Tính đạo hàm và đặt bằng 0: \[ \frac{dC}{dK} = 40 - \frac{4000}{K^2} = 0 \] Giải phương trình: \[ 40K^2 = 4000 \] \[ K^2 = 100 \] \[ K = 10 \] Sau đó thay \( K \) vào để tìm \( L \): \[ L = \frac{400}{10} + 2 = 40 + 2 = 42 \] Chi phí sản xuất tối thiểu là: \[ C = 40(10) + 10(42) = 400 + 420 = 820 \] c. Khi giá lao động tăng lên thành 20$, chi phí sản xuất sẽ là: \[ C = 40K + 20L = 1000 \] Ta có thể thiết lập lại hàm chi phí: \[ 40K + 20L = 1000 \] \[ 2K + L = 50 \] Đồng thời, hàm sản xuất vẫn là: \[ Q = 2K(L - 2) \] Giải phương trình \( L = 50 - 2K \) vào hàm sản xuất: \[ Q = 2K((50 - 2K) - 2) \] \[ Q = 2K(48 - 2K) \] \[ Q = 96K - 4K^2 \] Để tối đa hóa sản lượng, ta tính đạo hàm của \( Q \) theo \( K \) và đặt bằng 0: \[ \frac{dQ}{dK} = 96 - 8K = 0 \] \[ 8K = 96 \] \[ K = 12 \] Thay \( K = 12 \) vào phương trình chi phí: \[ L = 50 - 2(12) = 50 - 24 = 26 \] Tính sản lượng tối đa: \[ Q = 2(12)(26 - 2) = 2(12)(24) = 576 \] Vậy sản lượng tối đa đạt được khi thay đổi giá là \( Q = 576 \) đơn vị sản phẩm.