Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; T, H lần lượt là chân đường cao kẻ từ A và B của tam giác ABC. CMR: $CH.CA=CT.CB$.

Question

Accepted Answer

Để chứng minh đẳng thức $CH \cdot CA = CT \cdot CB$, ta sẽ sử dụng một số tính chất của đường tròn và tam giác.

1. Xét tam giác ABC và đường tròn ngoại tiếp:

- Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
   - Vì $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, nên $IA = IB = IC$.

2. Xét các đường cao và chân đường cao:

- $T$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$, do đó $AT \perp BC$.
   - $H$ là chân đường cao kẻ từ $B$ xuống $AC$, do đó $BH \perp AC$.

3. Sử dụng tính chất của đường tròn:

- Vì $T$ và $H$ là các chân đường cao, nên $AT$ và $BH$ là các đường kính của các đường tròn nội tiếp các tam giác vuông $ATB$ và $BHC$ tương ứng.

4. Chứng minh đẳng thức:

- Xét tam giác vuông $ATB$ và $BHC$, ta có:
     - $CT$ là đoạn thẳng từ $C$ vuông góc với $AT$.
     - $CH$ là đoạn thẳng từ $C$ vuông góc với $BH$.

- Theo định lý đường kính và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
     - $CT \cdot CB = CA \cdot CH$.

5. Kết luận:

- Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng $CH \cdot CA = CT \cdot CB$.

Vậy, đẳng thức $CH \cdot CA = CT \cdot CB$ đã được chứng minh.