* Cho (O) là đường tròn tâm O đường kính AB. Qua A vẽ tiếp tuyến Ax của (0), trên tia Ax lấy điểm M (M khác A), từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AC. Đường th...

Để giải quyết bài toán hình học này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a. Chứng minh: OM vuông góc AC tại H - Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, nên OA vuông góc với Ax. - MC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C, nên OC vuông góc với MC. - Do đó, OA và OC là hai bán kính vuông góc với các tiếp tuyến tương ứng. - Xét tứ giác OAMC, ta có: \( \angle OAC = \angle OCA = 90^\circ \). - Suy ra, tứ giác OAMC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OC. - Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có: \( \angle OMC = \angle OAC = 90^\circ \). - Do đó, OM vuông góc với AC tại H. b. Chứng minh: MD.MB = MH.MO và Góc MHD = góc MBA - Xét tam giác MHD và tam giác MBA, ta có: - \( \angle MHD = \angle MBA \) (cùng chắn cung MA). - \( \angle MDO = \angle MBO \) (cùng chắn cung MO). - Do đó, hai tam giác MHD và MBA đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA). - Từ sự đồng dạng này, ta có tỷ lệ: \[ \frac{MD}{MB} = \frac{MH}{MO} \] - Suy ra: \( MD \cdot MO = MH \cdot MB \). c. Gọi K là trung điểm đoạn thẳng BD. Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia OK tại E. Chứng minh: Ba điểm A, C, E thẳng hàng - Vì K là trung điểm của BD, nên OK là đường trung bình của tam giác BOD. - Tiếp tuyến tại B của (O) vuông góc với OB. - Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại B với tia OK. - Ta cần chứng minh ba điểm A, C, E thẳng hàng. - Xét tam giác OBE, vì E nằm trên tiếp tuyến tại B, nên \( \angle OBE = 90^\circ \). - Do đó, E nằm trên đường thẳng vuông góc với OB tại B. - Vì AC là đường kính của đường tròn (O), nên AC cũng vuông góc với OB tại B. - Do đó, A, C, E thẳng hàng trên đường thẳng vuông góc với OB tại B. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.