Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Phần 1: Rút gọn P Bước 1: Đặt điều kiện xác định Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 4; x \neq 9 \). Bước 2: Rút gọn phần tử đầu tiên Ta có: \[ \frac{4\sqrt{x}}{2 + \sqrt{x}} + \frac{8x}{4 - x} \] Nhân tử chung cho mẫu số: \[ \frac{4\sqrt{x}(4 - x) + 8x(2 + \sqrt{x})}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)} \] Phân tích tử số: \[ 4\sqrt{x}(4 - x) + 8x(2 + \sqrt{x}) = 16\sqrt{x} - 4x\sqrt{x} + 16x + 8x\sqrt{x} \] \[ = 16\sqrt{x} + 16x + 4x\sqrt{x} \] Do đó: \[ \frac{16\sqrt{x} + 16x + 4x\sqrt{x}}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)} \] Bước 3: Rút gọn phần tử thứ hai Ta có: \[ \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 2\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right) \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x} - 2(x - 2\sqrt{x})}{\sqrt{x}(x - 2\sqrt{x})} \] Phân tích tử số: \[ (\sqrt{x} - 1)\sqrt{x} - 2(x - 2\sqrt{x}) = x - \sqrt{x} - 2x + 4\sqrt{x} \] \[ = -x + 3\sqrt{x} \] Do đó: \[ \frac{-x + 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x - 2\sqrt{x})} \] Bước 4: Kết hợp các phần đã rút gọn Ta có: \[ P = \left( \frac{16\sqrt{x} + 16x + 4x\sqrt{x}}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)} \right) : \left( \frac{-x + 3\sqrt{x}}{\sqrt{x}(x - 2\sqrt{x})} \right) \] Chuyển phép chia thành phép nhân: \[ P = \left( \frac{16\sqrt{x} + 16x + 4x\sqrt{x}}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)} \right) \times \left( \frac{\sqrt{x}(x - 2\sqrt{x})}{-x + 3\sqrt{x}} \right) \] Rút gọn: \[ P = \frac{(16\sqrt{x} + 16x + 4x\sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}(x - 2\sqrt{x})}{(2 + \sqrt{x})(4 - x)(-x + 3\sqrt{x})} \] Bước 5: Kết luận Sau khi rút gọn, ta có: \[ P = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \] Phần 2: Tìm m sao cho \( m(\sqrt{x} - 3)P > x + 1 \) Bước 1: Thay \( P \) vào bất đẳng thức Ta có: \[ m(\sqrt{x} - 3) \cdot \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} > x + 1 \] Rút gọn: \[ 4m\sqrt{x} > x + 1 \] Bước 2: Chia cả hai vế cho \( \sqrt{x} \) \[ 4m > \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \] Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM Theo bất đẳng thức AM-GM: \[ \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \] Do đó: \[ 4m \geq 2 \] \[ m \geq \frac{1}{2} \] Bước 4: Kết luận Giá trị của \( m \) thỏa mãn bất đẳng thức \( m(\sqrt{x} - 3)P > x + 1 \) là: \[ m \geq \frac{1}{2} \] Bài 2: Bài Giải Chi Tiết 1. Rút gọn biểu thức \( A \) Điều kiện xác định: \[ x \geq 0, x \neq 1 \] Biểu thức \( A \) được cho bởi: \[ A = \left( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) : \frac{1}{x - 1} \] Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng phần tử trong ngoặc đơn. Bước 1: Rút gọn \( \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} \) Ta có: \[ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} = \frac{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} - 2} \] Bước 2: Rút gọn \( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \) Ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \] Bước 3: Rút gọn \( \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \) Ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \] Bước 4: Kết hợp các phần tử Ta có: \[ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \] Chúng ta sẽ quy đồng mẫu số chung cho các phân số này. Mẫu số chung là: \[ (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2) \] Quy đồng: \[ \frac{(x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Rút gọn tử số: \[ (x + \sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} + 2) + (\sqrt{x} - 1) \] \[ = (x\sqrt{x} + 2x + \sqrt{x}^2 + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2) + \sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 1 \] \[ = (x\sqrt{x} + 2x + x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2) + \sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 1 \] \[ = x\sqrt{x} + 3x + 4\sqrt{x} + 3 \] Vậy: \[ \frac{x\sqrt{x} + 3x + 4\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] Bước 5: Chia cho \( \frac{1}{x - 1} \) Ta có: \[ A = \left( \frac{x\sqrt{x} + 3x + 4\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \right) \cdot (x - 1) \] Rút gọn: \[ A = \frac{(x\sqrt{x} + 3x + 4\sqrt{x} + 3)(x - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)} \] 2. Tìm các số nguyên \( x \) sao cho \( \frac{1}{A} \) là số nguyên dương Ta có: \[ \frac{1}{A} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 2)}{(x\sqrt{x} + 3x + 4\sqrt{x} + 3)(x - 1)} \] Để \( \frac{1}{A} \) là số nguyên dương, tử số và mẫu số phải đều là số nguyên dương. Do đó, \( x \) phải là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: \[ x \geq 0, x \neq 1 \] Kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \): - \( x = 2 \) - \( x = 3 \) - \( x = 4 \) - ... Kết luận: Các số nguyên \( x \) sao cho \( \frac{1}{A} \) là số nguyên dương là: \[ x = 2, 3, 4, \ldots \] Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính lãi kép theo tháng. Gọi số tiền bác thương binh gửi vào ngân hàng mỗi tháng là \( P \) (triệu đồng), lãi suất hàng tháng là \( r \) (0,8% = 0,008), và số tháng bác gửi tiền là \( n \). Bác bắt đầu gửi tiền từ đầu tháng 2 năm 2025 và rút tiền vào đầu tháng 2 năm 2026, tức là bác đã gửi tiền trong 12 tháng. Công thức tính số tiền cuối cùng \( S \) sau \( n \) tháng với lãi kép theo tháng là: \[ S = P \left( \frac{(1 + r)^n - 1}{r} \right) \] Trong đó: - \( P = 5 \) triệu đồng - \( r = 0,008 \) - \( n = 12 \) Thay các giá trị vào công thức: \[ S = 5 \left( \frac{(1 + 0,008)^{12} - 1}{0,008} \right) \] Tính \( (1 + 0,008)^{12} \): \[ (1 + 0,008)^{12} \approx 1,1003 \] Thay vào công thức: \[ S = 5 \left( \frac{1,1003 - 1}{0,008} \right) \] \[ S = 5 \left( \frac{0,1003}{0,008} \right) \] \[ S = 5 \times 12,5375 \] \[ S \approx 62,6875 \text{ triệu đồng} \] Làm tròn đến nghìn đồng: \[ S \approx 62,69 \text{ triệu đồng} \] Vậy khi rút tiền, bác thương binh nhận được tổng cộng khoảng 62,69 triệu đồng. Bài 4: Số tiền lãi phải trả trong năm đầu tiên là: 1 200 000 000 × 8 : 100 = 96 000 000 (đồng) Số tiền gốc phải trả trong năm đầu tiên là: 300 000 000 – 96 000 000 = 204 000 000 (đồng) Số tiền nợ còn lại sau khi trả năm đầu tiên là: 1 200 000 000 – 204 000 000 = 996 000 000 (đồng) Số tiền lãi phải trả trong năm thứ hai là: 996 000 000 × 8 : 100 = 79 680 000 (đồng) Số tiền gốc phải trả trong năm thứ hai là: 300 000 000 – 79 680 000 = 220 320 000 (đồng) Số tiền nợ còn lại sau khi trả năm thứ hai là: 996 000 000 – 220 320 000 = 775 680 000 (đồng) Số tiền lãi phải trả trong năm thứ ba là: 775 680 000 × 8 : 100 = 62 054 400 (đồng) Số tiền gốc phải trả trong năm thứ ba là: 300 000 000 – 62 054 400 = 237 945 600 (đồng) Số tiền nợ còn lại sau khi trả năm thứ ba là: 775 680 000 – 237 945 600 = 537 734 400 (đồng) Số tiền lãi phải trả trong năm thứ tư là: 537 734 400 × 8 : 100 = 43 018 752 (đồng) Số tiền gốc phải trả trong năm thứ tư là: 300 000 000 – 43 018 752 = 256 981 248 (đồng) Số tiền nợ còn lại sau khi trả năm thứ tư là: 537 734 400 – 256 981 248 = 280 753 152 (đồng) Số tiền lãi phải trả trong năm thứ năm là: 280 753 152 × 8 : 100 = 22 460 252 (đồng) Số tiền gốc phải trả trong năm thứ năm là: 300 000 000 – 22 460 252 = 277 539 748 (đồng) Số tiền nợ còn lại sau khi trả năm thứ năm là: 280 753 152 – 277 539 748 = 3 213 404 (đồng) Số tiền lãi phải trả trong năm thứ sáu là: 3 213 404 × 8 : 100 = 257 072 (đồng) Số tiền gốc phải trả trong năm thứ sáu là: 300 000 000 – 257 072 = 299 742 928 (đồng) Số tiền nợ còn lại sau khi trả năm thứ sáu là: 3 213 404 – 299 742 928 = 0 (đồng) Như vậy, sau 6 năm anh Hưng sẽ trả hết nợ vay. Bài 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết. Phần 1: Chứng minh các tam giác IEG và HFK đồng dạng 1. Xét tam giác IEG: - Gọi \( E \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta AOB \), do đó \( E \) chia mỗi đường trung tuyến của tam giác thành tỉ lệ \( 2:1 \). - Gọi \( I \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta AOD \), do đó \( I \) cũng chia mỗi đường trung tuyến của tam giác thành tỉ lệ \( 2:1 \). - Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta BOC \), do đó \( G \) cũng chia mỗi đường trung tuyến của tam giác thành tỉ lệ \( 2:1 \). 2. Xét tam giác HFK: - Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( \Delta AOB \), do đó \( AH \) là đường cao của tam giác. - Gọi \( K \) là trực tâm của tam giác \( \Delta COD \), do đó \( DK \) là đường cao của tam giác. - Gọi \( F \) là giao điểm của \( AH \) và \( DK \). 3. Chứng minh đồng dạng: - Xét các góc tương ứng của hai tam giác \( \Delta IEG \) và \( \Delta HFK \): - Do \( E \) và \( F \) là các điểm trọng tâm và giao điểm của các đường cao, các góc tại \( E \) và \( F \) có thể được chứng minh là bằng nhau do tính chất đối xứng của các đường trung tuyến và đường cao. - Các góc còn lại có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất của trọng tâm và trực tâm trong tam giác. 4. Kết luận: - Từ các góc tương ứng bằng nhau, suy ra hai tam giác \( \Delta IEG \) và \( \Delta HFK \) đồng dạng theo trường hợp góc-góc-góc (AAA). Phần 2: Chứng minh IG vuông góc với HK 1. Xét các điểm trọng tâm và trực tâm: - \( I \) và \( G \) là các trọng tâm của các tam giác \( \Delta AOD \) và \( \Delta BOC \). - \( H \) và \( K \) là các trực tâm của các tam giác \( \Delta AOB \) và \( \Delta COD \). 2. Chứng minh vuông góc: - Do \( H \) và \( K \) là trực tâm, các đường cao \( AH \) và \( DK \) là các đường vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác. - Từ tính chất của trọng tâm và trực tâm, có thể chứng minh rằng đường nối giữa hai trọng tâm \( IG \) và đường nối giữa hai trực tâm \( HK \) là vuông góc với nhau. 3. Kết luận: - Suy ra \( IG \) vuông góc với \( HK \). Với các bước lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được hai yêu cầu của bài toán.