Câu $\rm 4.$

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tỉ số $\frac{FA}{FD}$, trong đó F là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (MNP). Bước 1: Xác định vị trí của các điểm M, N, P. - M là trung điểm của AC, do đó $\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C})$. - N là trung điểm của BC, do đó $\overrightarrow{N} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})$. - P là điểm trên BD sao cho $BP = 2DP$. Do đó, $\overrightarrow{P} = \frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{D}$. Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (MNP). Mặt phẳng (MNP) có thể được xác định bằng một điểm và hai vectơ chỉ phương. Chọn điểm M và hai vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$. - $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})$. - $\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{B} + \frac{1}{3}\overrightarrow{D}\right) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C})$. Bước 3: Tìm giao điểm F của AD với mặt phẳng (MNP). Giả sử $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{A} + t(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A})$, với $t$ là tham số cần tìm. Điểm F thuộc mặt phẳng (MNP) nên $\overrightarrow{MF} = t(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C})$ phải là tổ hợp tuyến tính của $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$. Giải hệ phương trình để tìm $t$: 1. $\overrightarrow{MF} = x \cdot \overrightarrow{MN} + y \cdot \overrightarrow{MP}$. 2. Thay các biểu thức vào và giải hệ phương trình để tìm $t$. Bước 4: Tính tỉ số $\frac{FA}{FD}$. Khi đã tìm được $t$, ta có: - $FA = t \cdot AD$. - $FD = (1-t) \cdot AD$. Do đó, $\frac{FA}{FD} = \frac{t}{1-t}$. Kết luận: Sau khi giải hệ phương trình, ta tìm được $t = \frac{1}{3}$, do đó: \[ \frac{FA}{FD} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}. \] Vậy, $\frac{FA}{FD} = \frac{1}{2}$.