c. Tỉnh tỷ số: DE/ BC d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OA vuông góc DE

Bài 68: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Chứng minh tứ giác \(ADHE\) nội tiếp được trong một đường tròn. - Ta có \(\angle A = 45^\circ\). - Xét tam giác \(ABC\), vì \(BD\) và \(CE\) là các đường cao nên \(\angle BDC = 90^\circ\) và \(\angle CEB = 90^\circ\). - Xét tứ giác \(ADHE\), ta cần chứng minh \(\angle ADH + \angle AEH = 180^\circ\). - Ta có \(\angle ADH = \angle BDC = 90^\circ\) (vì \(BD\) là đường cao). - Tương tự, \(\angle AEH = \angle CEB = 90^\circ\) (vì \(CE\) là đường cao). - Do đó, \(\angle ADH + \angle AEH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\). Vậy tứ giác \(ADHE\) nội tiếp được trong một đường tròn. b. Chứng minh \(HD = DC\). - Xét tam giác \(BHC\), ta có \(BD\) và \(CE\) là các đường cao, do đó \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\). - Trong tam giác vuông \(BDC\), ta có \(\angle BDC = 90^\circ\). - Vì \(H\) là trực tâm, nên \(HD\) là đường cao từ \(H\) đến \(BC\). - Do \(H\) là trực tâm và \(\angle A = 45^\circ\), tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\) (vì \(\angle B = \angle C = 45^\circ\)). - Do đó, \(BD = CE\) và \(HD = DC\) vì \(H\) là trung điểm của \(BC\) trong tam giác cân \(ABC\). Vậy \(HD = DC\).