Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a. Gọi AM; BN;CP là các đường trung tuyến. Chứng minh: 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Và tính bán kính của đường tròn đó.

Để chứng minh rằng 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác BPNC là tứ giác nội tiếp. Bước 1: Chứng minh tứ giác BPNC nội tiếp Trong tam giác đều ABC, các đường trung tuyến AM, BN, CP cũng là các đường phân giác và đường cao. Do đó, tam giác ABC có các tính chất đặc biệt của tam giác đều. Xét tam giác ABC đều, ta có: - AM, BN, CP là các đường trung tuyến, do đó chúng cắt nhau tại trọng tâm G của tam giác ABC. - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỷ lệ 2:1, tức là AG = $\frac{2}{3}$AM, BG = $\frac{2}{3}$BN, CG = $\frac{2}{3}$CP. Do tam giác ABC đều, các góc tại các đỉnh A, B, C đều bằng 60 độ. Xét tứ giác BPNC: - Góc BPN = góc BAC = 60 độ (vì BN và CP là các đường trung tuyến của tam giác đều ABC). - Góc BNC = góc BPC = 120 độ (vì góc BNC và góc BPC là các góc đối đỉnh). Tổng hai góc đối nhau của tứ giác BPNC là: - Góc BPN + góc BNC = 60 độ + 120 độ = 180 độ. Vì tổng hai góc đối nhau của tứ giác BPNC bằng 180 độ, nên tứ giác BPNC là tứ giác nội tiếp. Bước 2: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPNC Do tam giác ABC đều có cạnh bằng a, ta có: - Đường trung tuyến AM = BN = CP = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$. Vì tứ giác BPNC nội tiếp, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này cũng chính là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Vậy, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BPNC là $\frac{a}{\sqrt{3}}$.