em yêu a nhiều Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB

Question

em yêu a nhiều Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A có $AB<AC.$ Gọi M là trung điểm của BC , kẻ MD vuôn b) .,góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E.,a) Chứng minh $AM=DE.$,b) Chứng minh tứ giác DMCE là hình bình hành.,c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABC $(H\in BC).$ Chứng minh tứ giác DHME là hình thar,cân và A đối xứng với H qua DE.,...--ôôônn   BC  óóó $\widehat A=\widehat D=90^0$ và $AB=AD=\frac12CD,$ kẻ BH vuông góc v Bài 1

Accepted Answer

Bài 10:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a) Chứng minh $AM = DE$.

1. Xét tam giác $ABC$: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, do đó $\angle BAC = 90^\circ$.

2. Xét điểm $M$: $M$ là trung điểm của $BC$, do đó $BM = MC$.

3. Xét các đường vuông góc: $MD$ vuông góc với $AB$ tại $D$ và $ME$ vuông góc với $AC$ tại $E$.

4. Xét tam giác vuông $AMD$ và $AME$: 
   - Trong tam giác $AMD$, $\angle AMD = 90^\circ$.
   - Trong tam giác $AME$, $\angle AME = 90^\circ$.

5. Chứng minh $AM = DE$:
   - Xét hai tam giác vuông $AMD$ và $AME$, ta có:
     - $AD = AE$ (vì $D$ và $E$ là chân đường vuông góc từ $M$ đến $AB$ và $AC$).
     - $MD = ME$ (vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $MD$, $ME$ là các đường cao).
   - Do đó, hai tam giác $AMD$ và $AME$ bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
   - Suy ra $AM = DE$.

b) Chứng minh tứ giác $DMCE$ là hình bình hành.

1. Xét các cạnh của tứ giác $DMCE$:
   - $MD$ và $ME$ là các đường cao từ $M$ đến $AB$ và $AC$, do đó $MD = ME$.
   - $DC$ và $CE$ là các đoạn thẳng nối từ $D$ và $E$ đến $C$.

2. Chứng minh $DMCE$ là hình bình hành:
   - Ta đã có $MD = ME$.
   - $DC$ và $CE$ là các đoạn thẳng nối từ $D$ và $E$ đến $C$, do đó $DC = CE$ (vì $D$ và $E$ là chân đường vuông góc từ $M$ đến $AB$ và $AC$).
   - Do đó, tứ giác $DMCE$ có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên $DMCE$ là hình bình hành.

c) Chứng minh tứ giác $DHME$ là hình thang cân và $A$ đối xứng với $H$ qua $DE$.

1. Xét đường cao $AH$: $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$, do đó $AH$ vuông góc với $BC$.

2. Chứng minh $DHME$ là hình thang cân:
   - $DH$ và $ME$ là các đường vuông góc với $AB$ và $AC$, do đó $DH \parallel ME$.
   - $DE$ là đường nối giữa hai chân đường vuông góc từ $M$ đến $AB$ và $AC$.
   - Do đó, tứ giác $DHME$ có hai cạnh đối song song, nên là hình thang.
   - Vì $MD = ME$ và $DH = HE$ (do $H$ là trung điểm của $DE$), nên $DHME$ là hình thang cân.

3. Chứng minh $A$ đối xứng với $H$ qua $DE$:
   - $A$ nằm trên đường cao $AH$, và $H$ là trung điểm của $DE$.
   - Do đó, $A$ đối xứng với $H$ qua $DE$.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.