Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: a) Điều kiện xác định của biểu thức M là \(x \neq 2\) và \(x \neq -2\). Ta có: \[ M = \frac{x+3}{x-2} + \frac{x-3}{x+2} - \frac{2x^2+3x+6}{x^2-4}. \] Biến đổi \(M\) như sau: \[ M = \frac{(x+3)(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x-3)(x-2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{2x^2+3x+6}{(x-2)(x+2)}. \] Gộp các phân số lại: \[ M = \frac{(x+3)(x+2) + (x-3)(x-2) - (2x^2+3x+6)}{(x-2)(x+2)}. \] Phân tích tử số: \[ (x+3)(x+2) = x^2 + 5x + 6, \] \[ (x-3)(x-2) = x^2 - 5x + 6, \] \[ 2x^2 + 3x + 6. \] Tổng hợp lại: \[ M = \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 - 5x + 6 - 2x^2 - 3x - 6}{(x-2)(x+2)}. \] Rút gọn tử số: \[ M = \frac{x^2 + 5x + 6 + x^2 - 5x + 6 - 2x^2 - 3x - 6}{(x-2)(x+2)}, \] \[ M = \frac{-3x + 6}{(x-2)(x+2)}, \] \[ M = \frac{-3(x-2)}{(x-2)(x+2)}, \] \[ M = \frac{-3}{x+2}. \] b) Tính giá trị của \(M\) khi \(x = 3\): \[ M = \frac{-3}{3+2} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5}. \] c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(M\) nhận giá trị nguyên: \[ M = \frac{-3}{x+2}. \] Muốn \(M\) nhận giá trị nguyên, \(\frac{-3}{x+2}\) phải là số nguyên. Do đó, \(x+2\) phải là ước của \(-3\). Các ước của \(-3\) là: \(-3, -1, 1, 3\). Do đó: \[ x+2 = -3 \implies x = -5, \] \[ x+2 = -1 \implies x = -3, \] \[ x+2 = 1 \implies x = -1, \] \[ x+2 = 3 \implies x = 1. \] Vậy các giá trị nguyên của \(x\) để \(M\) nhận giá trị nguyên là: \(-5, -3, -1, 1\). Bài 2: a) Ta có $A=\frac{2x}{x+3}+\frac2{x-3}+\frac{x^2-x+6}{9-x^2}$ $=\frac{2x}{x+3}+\frac2{x-3}-\frac{x^2-x+6}{(x+3)(x-3)}$ $=\frac{2x(x-3)+2(x+3)-(x^2-x+6)}{(x+3)(x-3)}$ $=\frac{2x^2-6x+2x+6-x^2+x-6}{(x+3)(x-3)}$ $=\frac{x^2-3x}{(x+3)(x-3)}$ $=\frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}$ $=\frac{x}{x+3}$ Vậy $A=\frac{x}{x+3}$ với $x\ne\pm3.$ b) Ta có $A=\frac{x}{x+3}=1-\frac3{x+3}.$ A nhận giá trị nguyên khi $\frac3{x+3}$ nhận giá trị nguyên, tức là $x+3$ là ước của 3. Các ước của 3 là $-3,-1,1,3.$ Ta có bảng sau: $\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x+3 & -3 & -1 & 1 & 3 \\ \hline x & -6 & -4 & -2 & 0 \\ \hline \end{array}$ Vậy $x=-6,x=-4,x=-2,x=0$ thỏa mãn đề bài. Bài 3: Phần a) Rút gọn biểu thức A Ta có: \[ A = \frac{x+1}{x-2} + \frac{x-1}{x+2} + \frac{x^2+4x}{4-x^2} \] Trước hết, ta viết lại mẫu số của phân thức cuối cùng: \[ 4 - x^2 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2) \] Do đó: \[ \frac{x^2+4x}{4-x^2} = \frac{x(x+4)}{-(x-2)(x+2)} = -\frac{x(x+4)}{(x-2)(x+2)} \] Bây giờ, ta sẽ quy đồng mẫu số chung của ba phân thức: \[ A = \frac{(x+1)(x+2) + (x-1)(x-2) - x(x+4)}{(x-2)(x+2)} \] Tính tử số: \[ (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \] \[ (x-1)(x-2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2 \] \[ -x(x+4) = -x^2 - 4x \] Cộng lại: \[ x^2 + 3x + 2 + x^2 - 3x + 2 - x^2 - 4x = x^2 - 4x + 4 \] Vậy: \[ A = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x-2}{x+2} \] Phần b) Tính giá trị của A khi \( x = 4 \) Thay \( x = 4 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ A = \frac{4-2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] Phần c) Tìm số nguyên \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên Ta có: \[ A = \frac{x-2}{x+2} \] Để \( A \) nhận giá trị nguyên, \( \frac{x-2}{x+2} \) phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x+2 \) là ước của \( x-2 \). Xét các trường hợp: 1. \( x+2 = 1 \) \[ x = -1 \] \[ A = \frac{-1-2}{-1+2} = \frac{-3}{1} = -3 \] (nguyên) 2. \( x+2 = -1 \) \[ x = -3 \] \[ A = \frac{-3-2}{-3+2} = \frac{-5}{-1} = 5 \] (nguyên) 3. \( x+2 = 2 \) \[ x = 0 \] \[ A = \frac{0-2}{0+2} = \frac{-2}{2} = -1 \] (nguyên) 4. \( x+2 = -2 \) \[ x = -4 \] \[ A = \frac{-4-2}{-4+2} = \frac{-6}{-2} = 3 \] (nguyên) 5. \( x+2 = 3 \) \[ x = 1 \] \[ A = \frac{1-2}{1+2} = \frac{-1}{3} \] (không nguyên) 6. \( x+2 = -3 \) \[ x = -5 \] \[ A = \frac{-5-2}{-5+2} = \frac{-7}{-3} \] (không nguyên) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên là: \[ x = -1, -3, 0, -4 \] Bài 4: a) Điều kiện xác định của biểu thức B là \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\). Rút gọn B: \[ B = \frac{x}{x+3} + \frac{2x}{x-3} - \frac{9-3x^2}{9-x^2}. \] Ta có: \[ \frac{9-3x^2}{9-x^2} = \frac{9-3x^2}{(3-x)(3+x)} = \frac{-3(x^2-3)}{(3-x)(3+x)}. \] Do đó: \[ B = \frac{x}{x+3} + \frac{2x}{x-3} + \frac{3(x^2-3)}{(3-x)(3+x)}. \] Gộp các phân số lại: \[ B = \frac{x(x-3) + 2x(x+3) + 3(x^2-3)}{(x+3)(x-3)}. \] Phân tích tử số: \[ x(x-3) + 2x(x+3) + 3(x^2-3) = x^2 - 3x + 2x^2 + 6x + 3x^2 - 9 = 6x^2 + 3x - 9. \] Vậy: \[ B = \frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x-3)}. \] b) Để \(B > 0\): \[ \frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x-3)} > 0. \] Để \(B < 0\): \[ \frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x-3)} < 0. \] c) Tính giá trị của B khi \(x\) thỏa mãn \(|2x+1| = 5\): \[ |2x+1| = 5 \implies 2x+1 = 5 \text{ hoặc } 2x+1 = -5. \] Giải các phương trình: \[ 2x+1 = 5 \implies x = 2. \] \[ 2x+1 = -5 \implies x = -3. \] Thay \(x = 2\) vào B: \[ B = \frac{6(2)^2 + 3(2) - 9}{(2+3)(2-3)} = \frac{24 + 6 - 9}{5(-1)} = \frac{21}{-5} = -\frac{21}{5}. \] Thay \(x = -3\) vào B (không thỏa mãn điều kiện xác định). d) Tìm \(x\) nguyên để B nhận giá trị nguyên: \[ B = \frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x-3)}. \] Để B nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số: \[ 6x^2 + 3x - 9 \text{ chia hết cho } (x+3)(x-3). \] e) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M = B \cdot \frac{x-3}{x^2-2x+3}\): \[ M = \left(\frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x-3)}\right) \cdot \frac{x-3}{x^2-2x+3}. \] Rút gọn: \[ M = \frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x-3)} \cdot \frac{x-3}{x^2-2x+3} = \frac{6x^2 + 3x - 9}{(x+3)(x^2-2x+3)}. \] Để tìm giá trị lớn nhất của M, ta cần xét các trường hợp cụ thể của \(x\).