Cho $a_1;a_2;a_3;\ldots;a_{_{45}}$ là 45 số tự nhiên dương thỏa mãn $a_1

Question

Cho $a_1;a_2;a_3;\ldots;a_{_{45}}$ là 45 số tự nhiên dương thỏa mãn $a_1<a_2<\ldots<a_{45}$ $\le130$. Đặt $d_j=a_{j+1}-a_j$. CMR ít nhất một trong 44 hiệu $d_j$ xuất hiện ít nhất 10 lần.

Accepted Answer

Giả sử tất cả các hiệu $ d_j $ đều xuất hiện ít hơn 10 lần. Ta sẽ chứng minh rằng giả sử này dẫn đến mâu thuẫn.

Có 44 hiệu $ d_j $ và mỗi hiệu xuất hiện ít hơn 10 lần, tức là mỗi hiệu xuất hiện tối đa 9 lần. Do đó, tổng số lần xuất hiện của tất cả các hiệu $ d_j $ là:
$$ 44 \times 9 = 396 $$

Tuy nhiên, ta có:
$$ a_1 < a_2 < \ldots < a_{45} \leq 130 $$
Do đó, tổng số khoảng cách giữa các số $ a_j $ là:
$$ a_{45} - a_1 \leq 130 - 1 = 129 $$

Mỗi hiệu $ d_j $ là một khoảng cách giữa hai số liên tiếp, nên tổng số lần xuất hiện của tất cả các hiệu $ d_j $ phải bằng tổng số khoảng cách giữa các số $ a_j $:
$$ \sum_{j=1}^{44} d_j = a_{45} - a_1 \leq 129 $$

Nhưng ta đã tính rằng tổng số lần xuất hiện của tất cả các hiệu $ d_j $ là 396, điều này mâu thuẫn với $ \sum_{j=1}^{44} d_j \leq 129 $.

Vậy giả sử ban đầu là sai, tức là ít nhất một trong 44 hiệu $ d_j $ phải xuất hiện ít nhất 10 lần.