Giải hộ mình câu này với các bạn

Bài 12: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 25 \) a) Thay \( x = 9 \) vào biểu thức \( A \): \[ A = \frac{4(\sqrt{9} + 1)}{25 - 9} = \frac{4(3 + 1)}{16} = \frac{4 \cdot 4}{16} = \frac{16}{16} = 1 \] b) Rút gọn biểu thức \( B \): \[ B = \left( \frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} \] \[ = \left( \frac{-(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)}{(\sqrt{x} - 5)(\sqrt{x} + 5)} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} \] \[ = \left( \frac{-\sqrt{x} + 5 + 2}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} \] \[ = \left( \frac{-\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 5} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} \] \[ = \left( \frac{-\sqrt{x} + 7}{\sqrt{x} + 5} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 1} \] \[ = \frac{(-\sqrt{x} + 7)(\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{-x + 5\sqrt{x} + 7\sqrt{x} - 35}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{-x + 12\sqrt{x} - 35}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 1)} \] c) Ta có: \[ P = A \cdot B = \frac{4(\sqrt{x} + 1)}{25 - x} \cdot \frac{-x + 12\sqrt{x} - 35}{(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{4(\sqrt{x} + 1)(-x + 12\sqrt{x} - 35)}{(25 - x)(\sqrt{x} + 5)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ = \frac{4(-x + 12\sqrt{x} - 35)}{(25 - x)(\sqrt{x} + 5)} \] Để \( P \) đạt giá trị nguyên lớn nhất, ta cần tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( P \) đạt giá trị nguyên lớn nhất. Ta thấy rằng \( P \) đạt giá trị nguyên lớn nhất khi \( x = 16 \). Thay \( x = 16 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{4(-16 + 12\sqrt{16} - 35)}{(25 - 16)(\sqrt{16} + 5)} \] \[ = \frac{4(-16 + 12 \cdot 4 - 35)}{(25 - 16)(4 + 5)} \] \[ = \frac{4(-16 + 48 - 35)}{9 \cdot 9} \] \[ = \frac{4(-1)}{81} \] \[ = \frac{-4}{81} \] Vậy giá trị nguyên lớn nhất của \( P \) là \( -4 \), đạt được khi \( x = 16 \). Bài 13: a) Rút gọn biểu thức M: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Ta có: \[ M = \frac{1}{2\sqrt{x} - 2} - \frac{1}{2\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x}}{1 - x} \] Quy đồng mẫu số chung cho hai phân số đầu tiên: \[ M = \frac{(2\sqrt{x} + 2) - (2\sqrt{x} - 2)}{(2\sqrt{x} - 2)(2\sqrt{x} + 2)} + \frac{\sqrt{x}}{1 - x} \] \[ M = \frac{2\sqrt{x} + 2 - 2\sqrt{x} + 2}{(2\sqrt{x})^2 - 2^2} + \frac{\sqrt{x}}{1 - x} \] \[ M = \frac{4}{4x - 4} + \frac{\sqrt{x}}{1 - x} \] \[ M = \frac{4}{4(x - 1)} + \frac{\sqrt{x}}{1 - x} \] \[ M = \frac{1}{x - 1} + \frac{\sqrt{x}}{1 - x} \] Chuyển đổi dấu âm ở mẫu số của phân số thứ hai: \[ M = \frac{1}{x - 1} - \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \] \[ M = \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1} \] Rút gọn biểu thức: \[ M = \frac{-(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] \[ M = \frac{-1(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \] \[ M = \frac{-1}{\sqrt{x} + 1} \] Vậy, biểu thức rút gọn của M là: \[ M = \frac{-1}{\sqrt{x} + 1} \] b) Tính giá trị của biểu thức M tại \( x = \frac{4}{9} \): \[ M = \frac{-1}{\sqrt{\frac{4}{9}} + 1} \] \[ M = \frac{-1}{\frac{2}{3} + 1} \] \[ M = \frac{-1}{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} \] \[ M = \frac{-1}{\frac{5}{3}} \] \[ M = -\frac{3}{5} \] c) Tìm giá trị của x để \( |M| = \frac{1}{3} \): \[ \left| \frac{-1}{\sqrt{x} + 1} \right| = \frac{1}{3} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = -\frac{1}{3} \] Do \( \sqrt{x} + 1 \) luôn dương, nên ta chỉ xét trường hợp: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{3} \] \[ \sqrt{x} + 1 = 3 \] \[ \sqrt{x} = 2 \] \[ x = 4 \] Vậy, giá trị của x để \( |M| = \frac{1}{3} \) là: \[ x = 4 \] Bài 14: a) Rút gọn biểu thức P: Điều kiện xác định: \( x \geq 0, x \neq 1 \). Ta có: \[ P = \frac{2}{\sqrt{x-1}} + \frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{5 - \sqrt{x}}{x-1} \] Nhân tử chung cho các phân số: \[ P = \frac{2\sqrt{x+1} + 2\sqrt{x-1} - (5 - \sqrt{x})}{\sqrt{(x-1)(x+1)}} \] Rút gọn mẫu số: \[ P = \frac{2\sqrt{x+1} + 2\sqrt{x-1} - 5 + \sqrt{x}}{\sqrt{x^2-1}} \] b) Tính giá trị của biểu thức P tại \( x = 4 \): Thay \( x = 4 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ P = \frac{2\sqrt{4+1} + 2\sqrt{4-1} - 5 + \sqrt{4}}{\sqrt{4^2-1}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - 5 + 2}{\sqrt{15}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{3} - 3}{\sqrt{15}} \] c) Tìm giá trị của x để P có giá trị là số nguyên: Để \( P \) là số nguyên, ta cần tìm \( x \) sao cho: \[ \frac{2\sqrt{x+1} + 2\sqrt{x-1} - 5 + \sqrt{x}}{\sqrt{x^2-1}} \] là số nguyên. Ta thử các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x \geq 0, x \neq 1 \): - Với \( x = 0 \): \[ P = \frac{2\sqrt{1} + 2\sqrt{-1} - 5 + \sqrt{0}}{\sqrt{0-1}} \] (không thỏa mãn) - Với \( x = 2 \): \[ P = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{1} - 5 + \sqrt{2}}{\sqrt{4-1}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 5 + \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2} - 3}{\sqrt{3}} \] (không phải số nguyên) - Với \( x = 3 \): \[ P = \frac{2\sqrt{4} + 2\sqrt{2} - 5 + \sqrt{3}}{\sqrt{9-1}} \] \[ P = \frac{4 + 2\sqrt{2} - 5 + \sqrt{3}}{\sqrt{8}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \] (không phải số nguyên) - Với \( x = 5 \): \[ P = \frac{2\sqrt{6} + 2\sqrt{4} - 5 + \sqrt{5}}{\sqrt{25-1}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{6} + 4 - 5 + \sqrt{5}}{\sqrt{24}} \] \[ P = \frac{2\sqrt{6} + \sqrt{5} - 1}{2\sqrt{6}} \] (không phải số nguyên) Vậy không có giá trị nào của \( x \) để \( P \) là số nguyên.