Cho các số $x,y,z$ khác 0 thỏa mãn đồng thời $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2;\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4$. Tính giá trị biểu thức: $P=\left(x+2y+z\right)^{2012}$.

Bùi Ngọc Diễm

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ ⇒ $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=4$

Do đó: $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}$

⇔ $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^2}=0$

⇔ $\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0$

⇔ $x=y=-z$

Thay vào $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ ta được $x=y=\frac{1}{2};z=\frac{-1}{2}$

⇒ $P=1$