Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu. a) Chứng minh AMCK là hình thoi. Để chứng minh tứ giác AMCK là hình thoi, ta cần chứng minh rằng AMCK có bốn cạnh bằng nhau. 1. Vì I là trung điểm của AC, nên AI = IC. 2. Theo giả thiết, IK = IM. 3. Vì M là trung điểm của BC, nên AM = MC. Từ các điều trên, ta có: - AM = MC (do M là trung điểm của BC), - AI = IC (do I là trung điểm của AC), - IK = IM (theo giả thiết). Do đó, AM = MC = IK = IM. Vậy AMCK là hình thoi. b) Chứng minh AKMB là hình bình hành. Để chứng minh AKMB là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng AKMB có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. 1. Ta đã có AM = MK (vì AMCK là hình thoi). 2. Ta cần chứng minh AK // MB và AK = MB. - Vì AMCK là hình thoi, nên AM // CK và AK // MC. - Do M là trung điểm của BC, nên AM = MB. Từ đó, ta có: - AK // MB (vì AK // MC và MC // MB), - AM = MB (vì M là trung điểm của BC). Vậy AKMB là hình bình hành. c) Tìm điều kiện của $\Delta ABC$ để tứ giác AMCK là hình vuông. Để AMCK là hình vuông, ngoài việc AMCK là hình thoi, ta cần thêm điều kiện là một góc của AMCK bằng 90 độ. 1. Vì AMCK là hình thoi, nên AM = MC = IK = IM. 2. Để AMCK là hình vuông, ta cần góc AMK = 90 độ. Do $\Delta ABC$ vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ. Để AMK = 90 độ, cần có góc CAM = 45 độ. Vậy điều kiện để $\Delta ABC$ là tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AC. Tóm lại, điều kiện để tứ giác AMCK là hình vuông là $\Delta ABC$ phải là tam giác vuông cân tại A. Bài 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh $MB=NC=PD=QA.$ Giả sử độ dài cạnh của hình vuông ABCD là $a$. Vì $AM=BN=CP=DQ=x$, ta có: - $MB = AB - AM = a - x$ - $NC = BC - BN = a - x$ - $PD = CD - CP = a - x$ - $QA = DA - DQ = a - x$ Vậy, $MB=NC=PD=QA=a-x$. b) Chứng minh $\Delta QAM=\Delta NCP.$ Xét hai tam giác $\Delta QAM$ và $\Delta NCP$: - Ta có $AM = CP = x$ (theo giả thiết). - $QA = PD = a - x$ (từ phần a). - Góc $\angle QAM = \angle NCP = 90^\circ$ (vì là góc của hình vuông). Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có $\Delta QAM = \Delta NCP$. c) Chứng minh MNPQ là hình vuông. Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông, ta cần chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật và có bốn cạnh bằng nhau. 1. Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật: - Xét $\angle QAM = 90^\circ$ và $\angle NCP = 90^\circ$ (góc của hình vuông). - Từ phần b, ta có $\Delta QAM = \Delta NCP$, do đó $\angle MQN = \angle NMP = 90^\circ$. Vậy, MNPQ có bốn góc vuông, nên MNPQ là hình chữ nhật. 2. Chứng minh MNPQ có bốn cạnh bằng nhau: - Từ phần a, ta có $MB = NC = PD = QA = a - x$. - Do đó, $MN = MB + BN = (a - x) + x = a$. - Tương tự, $PQ = PD + DQ = (a - x) + x = a$. Vậy, $MN = PQ = a$. - Tương tự, $MP = MQ = a$. Vì MNPQ là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau, nên MNPQ là hình vuông. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được MNPQ là hình vuông. Bài 5: Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \(AM = BN\): 1. Xét hình vuông \(ABCD\): Vì \(ABCD\) là hình vuông nên các cạnh của nó bằng nhau, tức là \(AB = BC = CD = DA\). 2. Đặt độ dài cạnh hình vuông là \(a\): Do đó, \(BC = CD = a\). 3. Điều kiện bài toán: Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(M\) và trên cạnh \(CD\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN\). 4. Gọi \(BM = CN = x\): Theo điều kiện bài toán, ta có \(BM = CN = x\). 5. Tính độ dài \(AM\) và \(BN\): - Vì \(M\) nằm trên \(BC\), nên \(CM = BC - BM = a - x\). - Vì \(N\) nằm trên \(CD\), nên \(DN = CD - CN = a - x\). 6. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông: - Tam giác \(ABM\) vuông tại \(B\), nên \(AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{a^2 + x^2}\). - Tam giác \(DNC\) vuông tại \(C\), nên \(BN = \sqrt{DN^2 + CN^2} = \sqrt{(a-x)^2 + x^2}\). 7. Chứng minh \(AM = BN\): - Ta có \(AM = \sqrt{a^2 + x^2}\) và \(BN = \sqrt{(a-x)^2 + x^2}\). - Tính \(BN\): \[ BN = \sqrt{(a-x)^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax + x^2 + x^2} = \sqrt{a^2 - 2ax + 2x^2} \] - So sánh \(AM\) và \(BN\): \[ AM = \sqrt{a^2 + x^2}, \quad BN = \sqrt{a^2 - 2ax + 2x^2} \] - Do \(BM = CN = x\), nên \(a^2 + x^2 = a^2 - 2ax + 2x^2\). - Suy ra \(AM = BN\). b) Chứng minh \(AM \bot BN\): 1. Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(DNC\): Cả hai tam giác đều vuông tại \(B\) và \(C\) tương ứng. 2. Tính góc giữa \(AM\) và \(BN\): - Trong tam giác vuông \(ABM\), góc \(\angle ABM = 90^\circ\). - Trong tam giác vuông \(DNC\), góc \(\angle DNC = 90^\circ\). 3. Sử dụng tính chất hình vuông: - Trong hình vuông, các đường chéo vuông góc với nhau. - Do đó, nếu \(AM\) và \(BN\) là hai đường chéo của hình vuông \(ABCD\), thì \(AM \bot BN\). 4. Kết luận: Từ các bước trên, ta đã chứng minh được \(AM = BN\) và \(AM \bot BN\). Bài 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh AECK là hình bình hành. Để chứng minh tứ giác AECK là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Vì E và K lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên: - \( AE = \frac{1}{2}AB \) và \( CK = \frac{1}{2}CD \). - Do ABCD là hình vuông, nên \( AB = CD \). Do đó, \( AE = CK \). - Tương tự, F là trung điểm của BC, nên \( BF = \frac{1}{2}BC \). - Vì \( AB \parallel CD \) và \( BC \parallel AD \) (do ABCD là hình vuông), nên: - \( AE \parallel CK \) và \( EC \parallel AK \). Vậy, tứ giác AECK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên AECK là hình bình hành. b) Gọi M là giao của DF và CE. Chứng minh \(DF \bot CE\) tại M. - Vì F là trung điểm của BC và E là trung điểm của AB, nên \( DF \) và \( CE \) là các đường trung tuyến của tam giác vuông ABC. - Trong tam giác vuông, hai đường trung tuyến từ đỉnh góc vuông đến cạnh huyền là vuông góc với nhau. Do đó, \( DF \bot CE \) tại M. c) AK cắt DF tại N. Chứng minh \(ND = NM\). - Vì AECK là hình bình hành, nên \( AK \parallel EC \) và \( AK = EC \). - Do \( DF \bot CE \) tại M, nên M là trung điểm của DF (vì M là giao điểm của hai đường trung tuyến trong tam giác vuông). - Do đó, \( DM = MF \). - Xét tam giác \( \triangle DNF \), vì \( M \) là trung điểm của \( DF \) và \( N \) nằm trên \( AK \parallel EC \), nên \( N \) cũng là trung điểm của \( DF \). Vậy, \( ND = NM \). Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán một cách chi tiết và rõ ràng. Bài 7: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh AIKD và BIKC là hình vuông. - Vì I là trung điểm của AB, nên \( AI = IB = \frac{AB}{2} \). - Vì K là trung điểm của DC, nên \( DK = KC = \frac{DC}{2} \). - Do \( AB = 2BC \), ta có \( AB = 2DC \). Vì vậy, \( AI = DK = \frac{AB}{2} = DC \). Xét tứ giác AIKD: - \( AI = DK \) và \( ID = AK \) (do I và K là trung điểm). - \( AI \parallel DK \) và \( ID \parallel AK \) (do AI và DK là các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh song song). - Tứ giác AIKD có các cạnh đối song song và bằng nhau, nên AIKD là hình bình hành. - Vì \( AI = DK = ID = AK \), AIKD là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau, nên AIKD là hình vuông. Tương tự, xét tứ giác BIKC: - \( BI = KC \) và \( IK = BK \) (do I và K là trung điểm). - \( BI \parallel KC \) và \( IK \parallel BK \) (do BI và KC là các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh song song). - Tứ giác BIKC có các cạnh đối song song và bằng nhau, nên BIKC là hình bình hành. - Vì \( BI = KC = IK = BK \), BIKC là hình bình hành có bốn cạnh bằng nhau, nên BIKC là hình vuông. b) Chứng minh \(\Delta DIC\) vuông cân. - Từ phần a, ta có \( AI = ID = DK = KC \). - Xét tam giác DIC, ta có \( DI = IC \) (do I là trung điểm của AB và K là trung điểm của DC, nên DI = IC). - Do đó, tam giác DIC là tam giác cân tại I. - Vì AIKD là hình vuông, nên góc \( \angle AID = 90^\circ \). - Do đó, góc \( \angle DIC = 90^\circ \). - Vậy, tam giác DIC là tam giác vuông cân tại I. c) Gọi S và R lần lượt là tâm các hình vuông AIKD, BIKC. Chứng minh ISKR là hình vuông. - Tâm S của hình vuông AIKD là giao điểm của các đường chéo AI và DK. Do AIKD là hình vuông, nên S là trung điểm của AI và DK. - Tâm R của hình vuông BIKC là giao điểm của các đường chéo BI và KC. Do BIKC là hình vuông, nên R là trung điểm của BI và KC. Xét tứ giác ISKR: - \( IS = SR = RK = KI \) (do S và R là trung điểm của các đường chéo của các hình vuông AIKD và BIKC). - Các góc tại S và R đều là \( 90^\circ \) (do các đường chéo của hình vuông vuông góc với nhau). - Tứ giác ISKR có bốn cạnh bằng nhau và các góc vuông, nên ISKR là hình vuông. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.