xét tính liên tục của hàm số f ( x ) = - x / 2 khi x nhỏ hơn hoặc = 1 và x bình - 3x + 2 / x bình -1 khi x lớn hơn 1 tại x = 1

Question

Accepted Answer

Để xét tính liên tục của hàm số $ f(x) $ tại $ x = 1 $, chúng ta cần kiểm tra ba điều kiện sau:
1. Hàm số $ f(x) $ phải xác định tại $ x = 1 $.
2. Giới hạn của $ f(x) $ khi $ x $ tiến đến 1 từ bên trái và bên phải phải tồn tại.
3. Giới hạn của $ f(x) $ khi $ x $ tiến đến 1 từ bên trái và bên phải phải bằng giá trị của $ f(1) $.

Hàm số $ f(x) $ được cho bởi:
$$ f(x) = \begin{cases} 
-\frac{x}{2} & \text{nếu } x \leq 1 \
\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} & \text{nếu } x > 1 
\end{cases} $$

Bước 1: Kiểm tra giá trị của hàm số tại $ x = 1 $.

Khi $ x = 1 $:
$$ f(1) = -\frac{1}{2} $$

Bước 2: Tính giới hạn của $ f(x) $ khi $ x $ tiến đến 1 từ bên trái ($ x \to 1^- $).

Khi $ x $ tiến đến 1 từ bên trái, $ x \leq 1 $, nên:
$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} -\frac{x}{2} = -\frac{1}{2} $$

Bước 3: Tính giới hạn của $ f(x) $ khi $ x $ tiến đến 1 từ bên phải ($ x \to 1^+ $).

Khi $ x $ tiến đến 1 từ bên phải, $ x > 1 $, nên:
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} $$

Ta có thể rút gọn phân thức:
$$ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1} \quad \text{(với $ x \neq 1 $)} $$

Do đó:
$$ \lim_{x \to 1^+} \frac{x-2}{x+1} = \frac{1-2}{1+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} $$

Bước 4: So sánh các giới hạn và giá trị của hàm số tại $ x = 1 $.

Ta thấy:
$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -\frac{1}{2} $$
$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -\frac{1}{2} $$
$$ f(1) = -\frac{1}{2} $$

Vì cả ba giá trị này đều bằng nhau, hàm số $ f(x) $ liên tục tại $ x = 1 $.

Kết luận:
Hàm số $ f(x) $ liên tục tại $ x = 1 $.