chứng minh vecto cơ bản toán lớp 10

Ví dụ 5: Để chứng minh đẳng thức vector \(\overrightarrow{B^\prime B}+\overrightarrow{CC^\prime}+\overrightarrow{D^\prime D}=\overrightarrow0\), ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các phép toán vector cơ bản. 1. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] - Tương tự, đối với hình bình hành \(AB'C'D'\), ta có: \[ \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{D'C'} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{B'C'} \] 2. Biểu diễn các vector cần chứng minh: - Xét vector \(\overrightarrow{B^\prime B}\): \[ \overrightarrow{B^\prime B} = \overrightarrow{B^\prime A} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AB} \] - Xét vector \(\overrightarrow{CC^\prime}\): \[ \overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AC^\prime} = -\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'} \] - Xét vector \(\overrightarrow{D^\prime D}\): \[ \overrightarrow{D^\prime D} = \overrightarrow{D^\prime A} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{AD} \] 3. Tổng các vector: - Cộng các vector đã biểu diễn: \[ \overrightarrow{B^\prime B} + \overrightarrow{CC^\prime} + \overrightarrow{D^\prime D} = (-\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AB}) + (-\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC'}) + (-\overrightarrow{AD'} + \overrightarrow{AD}) \] - Sắp xếp lại các vector: \[ = (\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB'}) + (\overrightarrow{AC'} - \overrightarrow{AC}) + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AD'}) \] 4. Sử dụng tính chất của hình bình hành: - Từ tính chất của hình bình hành, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D'C'} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{DC} \] \[ \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{B'C} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{B'C'} \] \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B'C'} \quad \text{và} \quad \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{BC} \] - Thay vào biểu thức tổng: \[ (\overrightarrow{D'C'} - \overrightarrow{DC}) + (\overrightarrow{B'C} - \overrightarrow{B'C'}) + (\overrightarrow{B'C'} - \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{0} \] Do đó, ta đã chứng minh được rằng \(\overrightarrow{B^\prime B}+\overrightarrow{CC^\prime}+\overrightarrow{D^\prime D}=\overrightarrow0\).