Giupppp minhh 6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:,$a)~x^2-1\geq0;$ $b)~x^2-2x-1

Question

Giupppp minhh 6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:,$a)~x^2-1\geq0;$ $b)~x^2-2x-1<0;$,$c)~-3x^2+12x+1\leq0;$ $d)~5x^2+x+1\geq0.$ THUẬT NGŨ

khóttttt · Accepted Answer

a) $x^2 - 1 \ge 0$

Xét $f(x) = x^2 - 1$.

$f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=1\ x=-1\end{matrix} ight.$

Hệ số $a=1 > 0$.

Bảng xét dấu: (như hình dưới)

Vì $f(x) \ge 0$, nghiệm là: $ \left[\begin{matrix} x \le -1 \ x \ge 1 \end{matrix} ight. $

Tập nghiệm: $S = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

b) $x^2 - 2x - 1 < 0$

Xét $f(x) = x^2 - 2x - 1$.

$f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = 1 - \sqrt{2}\ x = 1 + \sqrt{2}\end{matrix} ight.$

Hệ số $a=1 > 0$.

Bảng xét dấu: (như hình dưới)

Vì $f(x) < 0$, nghiệm là: $1 - \sqrt{2} < x < 1 + \sqrt{2}$.

Tập nghiệm: $S = (1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$.

c) $-3x^2 + 12x + 1 \le 0$

Xét $f(x) = -3x^2 + 12x + 1$.

$f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x= \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3}\ x = \dfrac{6 + \sqrt{39}}{3} \end{matrix} ight.$

Hệ số $a=-3 < 0$.

Bảng xét dấu: (như hình dưới)

Vì $f(x) \le 0$, nghiệm là: $\left[\begin{matrix} x \le \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3} \ x \ge \dfrac{6 + \sqrt{39}}{3} \end{matrix} ight.$

Tập nghiệm: $S = \left(-\infty; \dfrac{6 - \sqrt{39}}{3} ight] \cup \left[\dfrac{6 + \sqrt{39}}{3}; +\infty ight)$.

d) $5x^2 + x + 1 \ge 0$

Xét $f(x) = 5x^2 + x + 1$.

Ta có: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.5.1 = 1 - 20 = -19$.

Vì $\Delta < 0$ và hệ số $a=5 > 0$, nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Vì $f(x) \ge 0$ luôn đúng, tập nghiệm là $S = \mathbb{R}$.

Timi · Answer

a) $ x^2 - 1 \geq 0 $

Ta có:
$$ x^2 - 1 \geq 0 $$
$$ x^2 \geq 1 $$

Điều này xảy ra khi:
$$ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 1 $$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
$$ S = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$

b) $ x^2 - 2x - 1 < 0 $

Ta có:
$$ x^2 - 2x - 1 < 0 $$

Để giải bất phương trình này, ta tìm nghiệm của phương trình:
$$ x^2 - 2x - 1 = 0 $$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
với $ a = 1 $, $ b = -2 $, và $ c = -1 $.

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} $$
$$ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} $$
$$ x = 1 \pm \sqrt{2} $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x_1 = 1 - \sqrt{2} $$
$$ x_2 = 1 + \sqrt{2} $$

Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức $ x^2 - 2x - 1 $ trong các khoảng:
$$ (-\infty, 1 - \sqrt{2}) $$
$$ (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) $$
$$ (1 + \sqrt{2}, +\infty) $$

Thử một giá trị trong mỗi khoảng:
- Với $ x = 0 $:
$$ 0^2 - 2 \cdot 0 - 1 = -1 < 0 $$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
$$ S = (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}) $$

c) $ -3x^2 + 12x + 1 \leq 0 $

Ta có:
$$ -3x^2 + 12x + 1 \leq 0 $$

Để giải bất phương trình này, ta tìm nghiệm của phương trình:
$$ -3x^2 + 12x + 1 = 0 $$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
với $ a = -3 $, $ b = 12 $, và $ c = 1 $.

$$ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 1}}{2 \cdot (-3)} $$
$$ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 12}}{-6} $$
$$ x = \frac{-12 \pm \sqrt{156}}{-6} $$
$$ x = \frac{-12 \pm 2\sqrt{39}}{-6} $$
$$ x = 2 \pm \frac{\sqrt{39}}{3} $$

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x_1 = 2 - \frac{\sqrt{39}}{3} $$
$$ x_2 = 2 + \frac{\sqrt{39}}{3} $$

Bây giờ, ta xét dấu của biểu thức $ -3x^2 + 12x + 1 $ trong các khoảng:
$$ (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{39}}{3}) $$
$$ (2 - \frac{\sqrt{39}}{3}, 2 + \frac{\sqrt{39}}{3}) $$
$$ (2 + \frac{\sqrt{39}}{3}, +\infty) $$

Thử một giá trị trong mỗi khoảng:
- Với $ x = 0 $:
$$ -3(0)^2 + 12(0) + 1 = 1 > 0 $$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
$$ S = (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{39}}{3}] \cup [2 + \frac{\sqrt{39}}{3}, +\infty) $$

d) $ 5x^2 + x + 1 \geq 0 $

Ta có:
$$ 5x^2 + x + 1 \geq 0 $$

Để giải bất phương trình này, ta tìm nghiệm của phương trình:
$$ 5x^2 + x + 1 = 0 $$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
với $ a = 5 $, $ b = 1 $, và $ c = 1 $.

$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} $$
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 20}}{10} $$
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{-19}}{10} $$

Vì $ \sqrt{-19} $ là số phức, nên phương trình không có nghiệm thực.

Do đó, biểu thức $ 5x^2 + x + 1 $ luôn dương với mọi $ x $.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
$$ S = \mathbb{R} $$