Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A$. $O$ là tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle ABC$. Trên $BC$ lấy các điểm $D$ và $E$ sao cho $BD=BA$ và $CE=CA$. Tính số đo góc $DAE$ và góc $EOD$.

Để giải bài toán này, ta cần xác định các góc trong tam giác và sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường tròn nội tiếp. 1. Xác định góc \( \angle DAE \): - Tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), do đó \( \angle BAC = 90^\circ \). - Điểm \( D \) trên \( BC \) sao cho \( BD = BA \), điều này có nghĩa là \( \triangle ABD \) cân tại \( B \). Do đó, \( \angle ABD = \angle BAD \). - Tương tự, điểm \( E \) trên \( BC \) sao cho \( CE = CA \), điều này có nghĩa là \( \triangle ACE \) cân tại \( C \). Do đó, \( \angle ACE = \angle CAE \). - Xét tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle ACD \), ta có: - \( \angle BAD = \angle ABD \) và \( \angle CAE = \angle ACE \). - Tổng các góc trong tam giác \( \triangle ABC \) là \( 180^\circ \), do đó: \[ \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ \] - Vì \( \angle ABD = \angle BAD \) và \( \angle ACE = \angle CAE \), nên: \[ \angle DAE = \angle BAC = 90^\circ \] 2. Xác định góc \( \angle EOD \): - \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp của \( \triangle ABC \), do đó \( O \) là giao điểm của các đường phân giác của các góc trong tam giác. - Đường phân giác của góc \( \angle BAC \) chia góc này thành hai góc bằng nhau, mỗi góc là \( 45^\circ \) vì \( \angle BAC = 90^\circ \). - Do đó, \( \angle BOD = \angle COE = 90^\circ \). - Xét tứ giác \( OADE \), vì \( O \) là tâm đường tròn nội tiếp, nên: - \( \angle EOD = 180^\circ - (\angle AOD + \angle AOE) \) - \( \angle AOD = \angle AOE = 45^\circ \) (vì là góc giữa đường phân giác và cạnh đối diện). - Do đó: \[ \angle EOD = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ \] Kết luận: Số đo góc \( \angle DAE \) là \( 90^\circ \) và số đo góc \( \angle EOD \) là \( 90^\circ \).