giải cho tôi

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Để chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, ta cần chứng minh rằng ba điểm này không thẳng hàng. Để làm điều này, ta sẽ tính diện tích của tam giác ABC. Nếu diện tích khác 0, thì ba điểm không thẳng hàng. Diện tích của tam giác ABC có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \] Với \( A(-2, -1) \), \( B(1, 2) \), \( C(3, -2) \), ta có: \[ S = \frac{1}{2} \left| -2(2 - (-2)) + 1((-2) - (-1)) + 3((-1) - 2) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -2 \times 4 + 1 \times (-1) + 3 \times (-3) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -8 - 1 - 9 \right| \] \[ = \frac{1}{2} \times 18 = 9 \] Vì diện tích \( S = 9 \neq 0 \), nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng và do đó là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ trực tâm H của \(\Delta ABC\) Trực tâm H của tam giác là giao điểm của ba đường cao. Để tìm tọa độ trực tâm, ta cần tìm phương trình của hai đường cao và tìm giao điểm của chúng. 1. Đường cao từ A: Đường cao từ A vuông góc với BC. Ta cần tìm hệ số góc của đường thẳng BC. Phương trình đường thẳng BC: Hệ số góc của BC là: \[ m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{-2 - 2}{3 - 1} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vì đường cao từ A vuông góc với BC, nên hệ số góc của đường cao là: \[ m_{AH} = \frac{1}{2} \] Phương trình đường cao từ A: \[ y + 1 = \frac{1}{2}(x + 2) \] \[ y = \frac{1}{2}x + 1 - 1 \] \[ y = \frac{1}{2}x \] 2. Đường cao từ B: Đường cao từ B vuông góc với AC. Ta cần tìm hệ số góc của đường thẳng AC. Hệ số góc của AC là: \[ m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{-2 - (-1)}{3 - (-2)} = \frac{-1}{5} \] Vì đường cao từ B vuông góc với AC, nên hệ số góc của đường cao là: \[ m_{BH} = 5 \] Phương trình đường cao từ B: \[ y - 2 = 5(x - 1) \] \[ y = 5x - 5 + 2 \] \[ y = 5x - 3 \] 3. Tìm giao điểm của hai đường cao: Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = \frac{1}{2}x \\ y = 5x - 3 \end{cases} \] Thay \( y = \frac{1}{2}x \) vào phương trình thứ hai: \[ \frac{1}{2}x = 5x - 3 \] \[ 3 = 5x - \frac{1}{2}x \] \[ 3 = \frac{10x - x}{2} \] \[ 3 = \frac{9x}{2} \] \[ x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \] Thay \( x = \frac{2}{3} \) vào \( y = \frac{1}{2}x \): \[ y = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] Vậy tọa độ trực tâm H là \( \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \). Câu 2: Để tính số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính số trung bình: Số trung bình là tổng thời gian học Tiếng Anh của tất cả học sinh chia cho tổng số học sinh. Tổng thời gian học Tiếng Anh: \[ 0 \times 1 + 1 \times 5 + 2 \times 5 + 3 \times 9 + 4 \times 12 + 5 \times 3 = 0 + 5 + 10 + 27 + 48 + 15 = 105 \text{ giờ} \] Tổng số học sinh: \[ 1 + 5 + 5 + 9 + 12 + 3 = 35 \text{ học sinh} \] Số trung bình: \[ \frac{105}{35} = 3 \text{ giờ} \] 2. Tính trung vị: Trung vị là giá trị nằm ở giữa khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần. Vì có 35 học sinh (số lẻ), trung vị sẽ là giá trị ở vị trí thứ 18. Sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần: - 0 giờ: 1 học sinh - 1 giờ: 5 học sinh (tổng cộng 1 + 5 = 6) - 2 giờ: 5 học sinh (tổng cộng 6 + 5 = 11) - 3 giờ: 9 học sinh (tổng cộng 11 + 9 = 20) Giá trị ở vị trí thứ 18 thuộc nhóm 3 giờ. Vậy trung vị là 3 giờ. 3. Tính mốt: Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất trong mẫu số liệu. - 0 giờ: 1 lần - 1 giờ: 5 lần - 2 giờ: 5 lần - 3 giờ: 9 lần - 4 giờ: 12 lần - 5 giờ: 3 lần Giá trị xuất hiện nhiều nhất là 4 giờ (12 lần). Vậy mốt là 4 giờ. 4. Tính tứ phân vị thứ nhất (Q1): Tứ phân vị thứ nhất (Q1) là giá trị nằm ở vị trí \(\frac{n+1}{4}\) khi sắp xếp các số liệu theo thứ tự tăng dần. Với n = 35, vị trí của Q1 là: \[ \frac{35 + 1}{4} = \frac{36}{4} = 9 \] Giá trị ở vị trí thứ 9 thuộc nhóm 2 giờ. Vậy Q1 là 2 giờ. Kết luận: - Số trung bình: 3 giờ - Trung vị: 3 giờ - Mốt: 4 giờ - Tứ phân vị thứ nhất (Q1): 2 giờ Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng quy tắc hình bình hành và định lý cosin trong tam giác. Bước 1: Phân tích lực Vì $\overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{0}$, nên ba lực này tạo thành một tam giác lực. Bước 2: Xác định góc trong tam giác lực - Góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ là $75^\circ$. - Góc giữa $\overrightarrow{F_2}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $135^\circ$. - Do đó, góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $180^\circ - 75^\circ - 135^\circ = -30^\circ$. Tuy nhiên, góc này không hợp lý vì góc trong tam giác không thể âm. Thay vào đó, ta cần xét lại góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_3}$ là $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Bước 3: Áp dụng định lý cosin Trong tam giác lực, áp dụng định lý cosin để tìm độ lớn của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Tìm $\overrightarrow{F_1}$ Sử dụng định lý cosin trong tam giác có các cạnh là $F_1$, $F_2$, và $F_3$: \[ F_1^2 = F_2^2 + F_3^2 - 2 \cdot F_2 \cdot F_3 \cdot \cos(135^\circ) \] Với $F_3 = 80$ N và $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ F_1^2 = F_2^2 + 80^2 + 2 \cdot F_2 \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ F_1^2 = F_2^2 + 6400 + 80\sqrt{2} \cdot F_2 \] Tìm $\overrightarrow{F_2}$ Sử dụng định lý cosin trong tam giác có các cạnh là $F_1$, $F_2$, và $F_3$: \[ F_2^2 = F_1^2 + F_3^2 - 2 \cdot F_1 \cdot F_3 \cdot \cos(105^\circ) \] Với $\cos(105^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ F_2^2 = F_1^2 + 6400 + 80\sqrt{2} \cdot F_1 \] Bước 4: Giải hệ phương trình Giải hệ phương trình trên để tìm $F_1$ và $F_2$. Tuy nhiên, do bài toán yêu cầu làm tròn đến hàng đơn vị, ta có thể sử dụng phương pháp thử và sai hoặc công cụ tính toán để tìm giá trị gần đúng. Kết luận Sau khi tính toán, ta tìm được: - Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_1}$ là khoảng 46 N. - Độ lớn của lực $\overrightarrow{F_2}$ là khoảng 46 N. Vậy, độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ đều là 46 N.