Giúp mình với!

Câu 20: Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài của tổng hai vectơ \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\) trong tam giác đều \(ABC\). 1. Xác định vị trí của các điểm: - Tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(a\). - Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(BM = MC = \frac{a}{2}\). - Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Trọng tâm \(G\) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần với tỉ lệ \(2:1\), với phần dài hơn nằm về phía đỉnh. 2. Tính tọa độ của các điểm: - Đặt \(A(0, \frac{a\sqrt{3}}{2})\), \(B(-\frac{a}{2}, 0)\), \(C(\frac{a}{2}, 0)\). - Trung điểm \(M\) của \(BC\) có tọa độ \(M(0, 0)\). 3. Tính tọa độ của trọng tâm \(G\): - Trọng tâm \(G\) có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ ba đỉnh: \[ G\left(\frac{0 + (-\frac{a}{2}) + \frac{a}{2}}{3}, \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 0 + 0}{3}\right) = \left(0, \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) \] 4. Tính các vectơ \(\overrightarrow{GB}\) và \(\overrightarrow{GC}\): - \(\overrightarrow{GB} = B - G = \left(-\frac{a}{2} - 0, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)\) - \(\overrightarrow{GC} = C - G = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)\) 5. Tính tổng \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\): - \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \left(-\frac{a}{2} + \frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{6} - \frac{a\sqrt{3}}{6}\right) = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)\) 6. Tính độ dài của \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\): - Độ dài của vectơ \(\left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)\) là: \[ \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{3} \] Vậy độ dài của \(\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Do đó, đáp án đúng là \(C.~\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Câu 21: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện và tính chất của các điểm trên đường tròn. 1. Điểm B di động trên đường tròn $C(O;R)$: - Điều này có nghĩa là $OB = R$. 2. Điểm M được xác định bởi $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$: - Ta có thể viết lại như sau: $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. - Điều này có nghĩa là $M$ là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$. 3. Tính chất của vectơ: - Độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ có thể được tính bằng định lý Pythagore trong tam giác vectơ: \[ OM^2 = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \cdot (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) \] - Sử dụng tính chất của tích vô hướng, ta có: \[ OM^2 = OA^2 + OB^2 + 2 \cdot \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \] - Vì $OA$ là cố định và $OB = R$, ta có: \[ OM^2 = OA^2 + R^2 + 2 \cdot \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} \] 4. Xét trường hợp đặc biệt: - Nếu $A$ trùng với $O$, thì $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{0}$, do đó $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB}$, và $M$ sẽ di động trên đường tròn $C(O;R)$. - Nếu $A$ không trùng với $O$, ta cần xét thêm về $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$. 5. Tính chất của $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$: - Vì $B$ di động trên đường tròn, góc giữa $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ thay đổi, do đó $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ có thể nhận mọi giá trị từ $-OA \cdot R$ đến $OA \cdot R$. 6. Kết luận về tập hợp điểm M: - Từ các phân tích trên, ta thấy rằng $M$ di động trên một đường tròn có tâm là $A$ và bán kính là $R$. - Do đó, tập hợp điểm $M$ là một đường tròn tâm $A$ bán kính $R$. Vậy đáp án đúng là: B. Đường tròn tâm A bán kính R. Câu 22: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và phép cộng vectơ. 1. Xác định các vectơ trung điểm: - Vì M là trung điểm của AB, ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \] - Vì N là trung điểm của BC, ta có: \[ \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0} \] - Vì P là trung điểm của CA, ta có: \[ \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{PA} = \overrightarrow{0} \] 2. Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{MK}\): Theo đề bài, ta có: \[ \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \] Thay \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BC}\) vào phương trình trên, ta có: \[ \overrightarrow{MK} + (\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{BC}) = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \] Sử dụng tính chất trung điểm \(\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ \overrightarrow{MK} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \] 3. Tìm điểm K: Chúng ta cần tìm điểm K sao cho: \[ \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} - \overrightarrow{BC} \] Thay \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BN} + \overrightarrow{NC}\) và sử dụng \(\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} - (\overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC}) \] Sử dụng tính chất trung điểm, ta có: \[ \overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \] Điều này cho thấy điểm K trùng với điểm P, vì P là trung điểm của CA và \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\). Vậy, điểm K trùng với điểm P. Đáp án đúng là B. P. Câu 23: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các vectơ và cách tính tổng của chúng. Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng, được kí hiệu bởi bạn An là \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) và bởi bạn Bình là \( B_1, B_2, \ldots, B_n \). Chúng ta cần tính tổng của các vectơ \(\overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_2B_2} + \ldots + \overrightarrow{A_nB_n}\). Xét từng vectơ \(\overrightarrow{A_iB_i}\), ta có: \[ \overrightarrow{A_iB_i} = \overrightarrow{B_i} - \overrightarrow{A_i} \] Do đó, tổng các vectơ là: \[ \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{A_2B_2} + \ldots + \overrightarrow{A_nB_n} = (\overrightarrow{B_1} - \overrightarrow{A_1}) + (\overrightarrow{B_2} - \overrightarrow{A_2}) + \ldots + (\overrightarrow{B_n} - \overrightarrow{A_n}) \] Khi nhóm lại các thành phần, ta có: \[ = (\overrightarrow{B_1} + \overrightarrow{B_2} + \ldots + \overrightarrow{B_n}) - (\overrightarrow{A_1} + \overrightarrow{A_2} + \ldots + \overrightarrow{A_n}) \] Để đơn giản hóa, ta cần xem xét cách các điểm được sắp xếp. Theo giả thiết, \( A_1 \neq B_n \), điều này có nghĩa là điểm đầu tiên của An không trùng với điểm cuối cùng của Bình. Nếu chúng ta giả sử rằng các điểm được sắp xếp sao cho \( A_1 = B_1, A_2 = B_2, \ldots, A_{n-1} = B_{n-1} \) và chỉ có \( A_n \neq B_n \), thì tổng các vectơ sẽ là: \[ = \overrightarrow{B_n} - \overrightarrow{A_1} \] Điều này tương ứng với vectơ \(\overrightarrow{A_1B_n}\). Do đó, đáp án đúng là \( D.~\overrightarrow{A_1B_n} \). Câu 1: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích từng trường hợp: Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng \(2a\). a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) - \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\) là hai cạnh liên tiếp của hình vuông, do đó \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) theo quy tắc hình bình hành. - Khẳng định a đúng. b) \(|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}| = 2a\) - \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của hình vuông, do đó \(|\overrightarrow{AC}| = 2a\sqrt{2}\). - \(|\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}|\) không thể bằng \(2a\) vì \(|\overrightarrow{AB}|\) và \(|\overrightarrow{AC}|\) không có sự chênh lệch như vậy. - Khẳng định b sai. c) \(|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD}| = 2a\) - \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) là hai vectơ đối nhau (cùng độ dài, ngược hướng), do đó \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}\). - \(|\overrightarrow{0}| = 0\), không thể bằng \(2a\). - Khẳng định c sai. d) \(|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = 2a\sqrt{3}\) - \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AC}\) là hai vectơ tạo thành một tam giác vuông với \(|\overrightarrow{AD}| = 2a\) và \(|\overrightarrow{AC}| = 2a\sqrt{2}\). - Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông: \[ |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a\sqrt{2})^2} = \sqrt{4a^2 + 8a^2} = \sqrt{12a^2} = 2a\sqrt{3} \] - Khẳng định d đúng. Tóm lại: - Khẳng định a đúng. - Khẳng định b sai. - Khẳng định c sai. - Khẳng định d đúng. Câu 2: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần sử dụng các tính chất của hình bình hành và phép cộng vectơ. Khẳng định a: \(\overrightarrow{RJ}=\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{AJ}\) - Xét hình bình hành CARS, ta có: \(\overrightarrow{RA} = \overrightarrow{CS}\). - Xét hình bình hành ABIJ, ta có: \(\overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{BI}\). - Do đó, \(\overrightarrow{RJ} = \overrightarrow{RA} + \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{CS} + \overrightarrow{BI}\). Khẳng định a là đúng. Khẳng định b: \(\overrightarrow{IQ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{QB}\) - Xét hình bình hành ABIJ, ta có: \(\overrightarrow{IB} = \overrightarrow{AJ}\). - Xét hình bình hành BCPQ, ta có: \(\overrightarrow{QB} = \overrightarrow{CP}\). - Do đó, \(\overrightarrow{IQ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{CP}\). Khẳng định b là đúng. Khẳng định c: \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{SC}\) - Xét hình bình hành BCPQ, ta có: \(\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{BQ}\). - Xét hình bình hành CARS, ta có: \(\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{AR}\). - Do đó, \(\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{AR}\). Khẳng định c là đúng. Khẳng định d: \(\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow0\) - Từ các khẳng định trên, ta có: \[ \overrightarrow{RJ} = \overrightarrow{CS} + \overrightarrow{BI} \] \[ \overrightarrow{IQ} = \overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{CP} \] \[ \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{AR} \] - Cộng các vectơ này lại: \[ \overrightarrow{RJ} + \overrightarrow{IQ} + \overrightarrow{PS} = (\overrightarrow{CS} + \overrightarrow{BI}) + (\overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{CP}) + (\overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{AR}) \] - Sắp xếp lại các vectơ: \[ = (\overrightarrow{CS} + \overrightarrow{SC}) + (\overrightarrow{BI} + \overrightarrow{IB}) + (\overrightarrow{AJ} + \overrightarrow{JA}) + (\overrightarrow{CP} + \overrightarrow{PC}) + (\overrightarrow{BQ} + \overrightarrow{QB}) + (\overrightarrow{AR} + \overrightarrow{RA}) \] - Do các vectơ đối nhau, tổng của chúng bằng \(\overrightarrow{0}\). Khẳng định d là đúng. Tóm lại, tất cả các khẳng định a, b, c, d đều đúng. Câu 3: Để xét tính đúng sai của các khẳng định, ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\) - Trong hình vuông \(ABCD\), các vectơ \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AB}\) là hai cạnh liền kề của hình vuông. - Theo quy tắc hình bình hành, tổng của hai vectơ liền kề trong hình vuông sẽ bằng vectơ đường chéo. Do đó, \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\). - Khẳng định này là đúng. Khẳng định b): Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(C\). Khi đó \(ADEC\) là hình thang. - Điểm \(E\) đối xứng với \(B\) qua \(C\) có nghĩa là \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BE\). - Trong hình vuông \(ABCD\), \(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. - Do đó, \(E\) sẽ nằm trên đường thẳng kéo dài của \(BD\), và \(ADEC\) không thể là hình thang vì không có cặp cạnh nào song song. - Khẳng định này là sai. Khẳng định c): \(|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = a\sqrt{2}\) - Như đã phân tích ở khẳng định a), \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC}\). - Độ dài của đường chéo \(\overrightarrow{AC}\) trong hình vuông cạnh \(a\) là \(a\sqrt{2}\). - Do đó, \(|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a\sqrt{2}\). - Khẳng định này là đúng. Khẳng định d): \(|\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}| = a\sqrt{3}\) - Xét \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}\), ta có: - \(\overrightarrow{AD}\) là một cạnh của hình vuông. - \(\overrightarrow{AC}\) là đường chéo của hình vuông. - Tổng của hai vectơ này không phải là một vectơ có độ dài \(a\sqrt{3}\) vì không có mối quan hệ hình học nào trong hình vuông cho phép điều này. - Khẳng định này là sai. Tóm lại: - Khẳng định a) đúng. - Khẳng định b) sai. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) sai.