Cho điểm M nằm trên Hypebol (H) : x216 - y220 = 1. Nếu điểm M có hoành độ bằng 12 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là bao nhiêu ?

Question

Cho điểm M nằm trên Hypebol (H) : x216 -  y220 = 1. Nếu điểm M có hoành độ bằng 12 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm là bao nhiêu ?

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm khoảng cách từ điểm $ M $ đến các tiêu điểm của hyperbol $ (H): \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1 $.

Bước 1: Xác định các thông số của hyperbol

Phương trình của hyperbol có dạng chuẩn là:

$$
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
$$

Với $ a^2 = 16 $ và $ b^2 = 20 $, ta có:

- $ a = \sqrt{16} = 4 $
- $ b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $

Tiêu điểm của hyperbol có tọa độ là $ (\pm c, 0) $, trong đó $ c $ được tính bằng công thức:

$$
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6
$$

Vậy các tiêu điểm là $ F_1(6, 0) $ và $ F_2(-6, 0) $.

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $ M $

Điểm $ M $ có hoành độ $ x = 12 $. Thay vào phương trình của hyperbol để tìm tung độ $ y $:

$$
\frac{12^2}{16} - \frac{y^2}{20} = 1
$$

$$
\frac{144}{16} - \frac{y^2}{20} = 1
$$

$$
9 - \frac{y^2}{20} = 1
$$

$$
9 - 1 = \frac{y^2}{20}
$$

$$
8 = \frac{y^2}{20}
$$

$$
y^2 = 160
$$

$$
y = \pm \sqrt{160} = \pm 4\sqrt{10}
$$

Vậy tọa độ của điểm $ M $ là $ (12, 4\sqrt{10}) $ hoặc $ (12, -4\sqrt{10}) $.

Bước 3: Tính khoảng cách từ $ M $ đến các tiêu điểm

Khoảng cách từ $ M(12, 4\sqrt{10}) $ đến tiêu điểm $ F_1(6, 0) $:

$$
d_1 = \sqrt{(12 - 6)^2 + (4\sqrt{10} - 0)^2} = \sqrt{6^2 + (4\sqrt{10})^2}
$$

$$
= \sqrt{36 + 160} = \sqrt{196} = 14
$$

Khoảng cách từ $ M(12, 4\sqrt{10}) $ đến tiêu điểm $ F_2(-6, 0) $:

$$
d_2 = \sqrt{(12 + 6)^2 + (4\sqrt{10} - 0)^2} = \sqrt{18^2 + (4\sqrt{10})^2}
$$

$$
= \sqrt{324 + 160} = \sqrt{484} = 22
$$

Tương tự, với $ M(12, -4\sqrt{10}) $, ta cũng có các khoảng cách tương tự do tính chất đối xứng của hyperbol.

Vậy khoảng cách từ $ M $ đến các tiêu điểm là 14 và 22.