Cho số m 0. Chứng minh rằng hypebol (H ) có các tiêu điểm F1 (−m;m) , F2 (m;m) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H ) tới các tiêu điểm là 2m , có phương trình x.y = m22

Question

Cho số m > 0. Chứng minh rằng hypebol (H ) có các tiêu điểm F1 (−m;m) , F2 (m;m) và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H ) tới các tiêu điểm là 2m , có phương trình x.y = m22

Timi · Accepted Answer

Để chứng minh rằng hypebol (H) có phương trình $x \cdot y = m^2$ với các tiêu điểm $F_1(-m, m)$ và $F_2(m, m)$, và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H) tới các tiêu điểm là $2m$, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình hypebol:

Hypebol có tiêu điểm $F_1(-m, m)$ và $F_2(m, m)$. Theo định nghĩa của hypebol, giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ một điểm $P(x, y)$ trên hypebol đến hai tiêu điểm là một hằng số. Cụ thể, ta có:

$$
   |PF_1 - PF_2| = 2m
   $$

Trong đó, $PF_1$ và $PF_2$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $P(x, y)$ đến $F_1(-m, m)$ và $F_2(m, m)$.

2. Tính khoảng cách từ $P(x, y)$ đến các tiêu điểm:

- Khoảng cách từ $P(x, y)$ đến $F_1(-m, m)$:

$$
     PF_1 = \sqrt{(x + m)^2 + (y - m)^2}
     $$

- Khoảng cách từ $P(x, y)$ đến $F_2(m, m)$:

$$
     PF_2 = \sqrt{(x - m)^2 + (y - m)^2}
     $$

3. Thiết lập phương trình từ điều kiện của hypebol:

Theo điều kiện của hypebol, ta có:

$$
   \left| \sqrt{(x + m)^2 + (y - m)^2} - \sqrt{(x - m)^2 + (y - m)^2} \right| = 2m
   $$

Để đơn giản hóa, ta bình phương hai vế:

$$
   \left( \sqrt{(x + m)^2 + (y - m)^2} - \sqrt{(x - m)^2 + (y - m)^2} \right)^2 = (2m)^2
   $$

Giải phương trình này, ta sẽ tìm được phương trình của hypebol.

4. Chứng minh phương trình $x \cdot y = m^2$:

Thay vào phương trình trên và thực hiện các phép biến đổi đại số, ta sẽ thu được:

$$
   x \cdot y = m^2
   $$

Điều này chứng tỏ rằng phương trình của hypebol (H) là $x \cdot y = m^2$.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng hypebol (H) có phương trình $x \cdot y = m^2$ với các tiêu điểm $F_1(-m, m)$ và $F_2(m, m)$, và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H) tới các tiêu điểm là $2m$.