ccccứu nhaaaa

Bài tập 5.35: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ tình huống và các khái niệm liên quan. 1. Khái niệm tiếp tuyến và tiếp điểm: - Tiếp tuyến của một đường tròn là một đường thẳng chỉ chạm vào đường tròn tại một điểm duy nhất. Điểm này được gọi là tiếp điểm. - Trong trường hợp này, sợi dây cáp được coi là tiếp tuyến của mỗi bánh xe của xe đạp. 2. Xác định tiếp điểm: - Giả sử bánh xe có dạng hình tròn với bán kính \( r \). - Khi sợi dây cáp là tiếp tuyến của bánh xe, nó sẽ chạm vào bánh xe tại một điểm duy nhất trên chu vi của bánh xe. - Tiếp điểm này sẽ nằm trên đường thẳng nối từ tâm của bánh xe đến điểm tiếp xúc trên chu vi. 3. Lập luận từng bước: - Gọi \( O \) là tâm của bánh xe và \( P \) là tiếp điểm giữa sợi dây cáp và bánh xe. - Đường thẳng \( OP \) sẽ vuông góc với sợi dây cáp tại điểm \( P \) vì tính chất của tiếp tuyến là vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. - Do đó, để xác định tiếp điểm \( P \), ta cần biết vị trí của tâm \( O \) và bán kính \( r \) của bánh xe. 4. Kết luận: - Tiếp điểm \( P \) là điểm duy nhất trên chu vi bánh xe mà sợi dây cáp chạm vào, và nó có thể được xác định bằng cách kéo dài bán kính từ tâm \( O \) đến chu vi bánh xe sao cho vuông góc với sợi dây cáp. Với các bước lập luận trên, chúng ta đã xác định được cách xác định tiếp điểm giữa sợi dây cáp và bánh xe của xe đạp. Bài tập 5.36: Để tính độ dài đoạn thẳng AB, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông. 1. Xác định tam giác vuông: - Do AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B, nên OB vuông góc với AB. - Tam giác OAB là tam giác vuông tại B. 2. Áp dụng định lý Pythagore: - Trong tam giác vuông OAB, ta có: \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \). 3. Thay số vào công thức: - Biết rằng \( OA = 10 \) cm và \( OB = 6 \) cm (vì OB là bán kính của đường tròn). - Thay vào công thức: \[ 10^2 = 6^2 + AB^2 \] \[ 100 = 36 + AB^2 \] 4. Giải phương trình: - Trừ 36 từ cả hai vế: \[ 100 - 36 = AB^2 \] \[ 64 = AB^2 \] - Lấy căn bậc hai hai vế: \[ AB = \sqrt{64} = 8 \] Vậy, độ dài đoạn thẳng AB là 8 cm. Bài tập 5.37: Để tính độ dài đoạn thẳng \( BC \) theo \( R \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các yếu tố liên quan: - Đường tròn có tâm \( O \) và đường kính \( AB = 2R \), do đó bán kính \( OA = OB = R \). - \( xy \) là tiếp tuyến tại \( A \), do đó \( OA \perp xy \). - Điểm \( C \) nằm trên tiếp tuyến \( xy \) sao cho \( AC = R \). 2. Xác định tam giác vuông: - Vì \( OA \perp xy \) và \( C \) nằm trên \( xy \), nên tam giác \( OAC \) là tam giác vuông tại \( A \). 3. Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OAC \): - Ta có \( OA = R \) và \( AC = R \). - Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( OAC \): \[ OC^2 = OA^2 + AC^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 \] - Suy ra \( OC = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} \). 4. Tính độ dài đoạn thẳng \( BC \): - Ta có \( OB = R \) và \( OC = R\sqrt{2} \). - Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( OBC \) (vì \( OB \) là bán kính và \( OC \) là cạnh huyền): \[ BC^2 = OC^2 - OB^2 = (R\sqrt{2})^2 - R^2 = 2R^2 - R^2 = R^2 \] - Suy ra \( BC = \sqrt{R^2} = R \). Vậy độ dài đoạn thẳng \( BC \) là \( R \). Bài tập 5.38: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của đường tròn và tiếp tuyến. 1. Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Do đó, \(OM \perp xy\). 2. Tam giác vuông: Xét tam giác vuông \(OMP\) với \(OM\) là bán kính và \(MP\) là tiếp tuyến. Ta có: - \(OM = 3~cm\) (bán kính của đường tròn). - \(MP = 4~cm\) (theo đề bài). 3. Áp dụng định lý Pythagore: Trong tam giác vuông \(OMP\), ta có: \[ OP^2 = OM^2 + MP^2 \] Thay các giá trị đã biết vào, ta được: \[ OP^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \] Suy ra: \[ OP = \sqrt{25} = 5~cm \] Vậy, độ dài đoạn thẳng \(PO\) là \(5~cm\). Bài tập 5.39: Để tính chu vi tam giác \( \triangle ABO \), ta cần tính độ dài các cạnh \( AB \), \( BO \), và \( AO \). 1. Tính độ dài \( AB \): Vì \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \( B \), nên \( AB \perp OB \). Do đó, tam giác \( \triangle ABO \) là tam giác vuông tại \( B \). Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \( \triangle ABO \): \[ AB^2 + OB^2 = AO^2 \] Biết rằng \( OB = 6 \, \text{cm} \) (bán kính đường tròn) và \( AO = 10 \, \text{cm} \), ta có: \[ AB^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ AB^2 + 36 = 100 \] \[ AB^2 = 64 \] \[ AB = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm} \] 2. Tính chu vi tam giác \( \triangle ABO \): Chu vi của tam giác \( \triangle ABO \) là tổng độ dài các cạnh \( AB \), \( BO \), và \( AO \): \[ \text{Chu vi} = AB + BO + AO = 8 + 6 + 10 = 24 \, \text{cm} \] Vậy, chu vi của tam giác \( \triangle ABO \) là \( 24 \, \text{cm} \). Bài tập 5.40: Để chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA), ta cần chứng minh rằng AC vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. 1. Xác định các yếu tố của bài toán: - Tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là góc BAC = 90 độ. - Đường tròn (B; BA) có tâm B và bán kính BA. 2. Xác định điểm tiếp xúc: - Vì đường tròn có tâm B và bán kính BA, nên điểm A nằm trên đường tròn này. 3. Chứng minh AC vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc: - Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có góc BAC = 90 độ. - Đường thẳng AC là cạnh của góc vuông BAC. - Bán kính BA của đường tròn (B) cũng là một cạnh của góc vuông BAC. 4. Kết luận: - Vì góc BAC = 90 độ, nên AC vuông góc với BA. - Do đó, AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) tại điểm A. Vậy, AC là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Bài tập 5.41: Để chứng minh DA và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) với đường kính AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính chất của đường tròn với đường kính: Đường tròn (O) có đường kính AB, do đó, mọi điểm nằm trên đường tròn sẽ tạo với đường kính AB một góc vuông. Cụ thể, nếu M là một điểm bất kỳ trên đường tròn (O), thì góc AMB là góc vuông. 2. Xét tam giác vuông: Trong hình chữ nhật ABCD, ta có: - DA vuông góc với AB (vì ABCD là hình chữ nhật). - BC vuông góc với AB. 3. Chứng minh DA là tiếp tuyến: - Vì DA vuông góc với AB và O là trung điểm của AB, nên DA cũng vuông góc với bán kính OA tại điểm A. - Theo định nghĩa, một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm đó. - Do đó, DA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. 4. Chứng minh BC là tiếp tuyến: - Tương tự, BC vuông góc với AB và O là trung điểm của AB, nên BC cũng vuông góc với bán kính OB tại điểm B. - Theo định nghĩa, một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm đó. - Do đó, BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B. Kết luận: DA và BC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) với đường kính AB. Bài tập 5.42: Để tính tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ, ta sử dụng công thức đã được đưa ra: \[ AC \approx 80\sqrt{2h} \] Trong đó: - \( h \) là độ cao của thủy thủ so với mặt nước biển, tính bằng km. - \( AC \) là tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ, tính bằng km. Theo đề bài, thủy thủ đang ở độ cao 10 m so với mặt nước biển. Ta cần đổi đơn vị từ mét sang kilômét: \[ h = \frac{10}{1000} = 0,01 \text{ km} \] Thay giá trị \( h = 0,01 \) vào công thức: \[ AC \approx 80\sqrt{2 \times 0,01} \] \[ AC \approx 80\sqrt{0,02} \] Tính giá trị của \( \sqrt{0,02} \): \[ \sqrt{0,02} \approx 0,141 \] Thay vào công thức: \[ AC \approx 80 \times 0,141 \] \[ AC \approx 11,28 \text{ km} \] Làm tròn đến hàng phần nghìn, ta có: Tầm nhìn xa tối đa của thủy thủ là \( 11,314 \text{ km} \). Bài tập 5.43: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Tam giác OAB và tam giác OAC có gì đặc biệt? Tại sao? - Đường tròn đường kính AO có tâm là I cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Theo định lý về đường tròn đường kính, nếu một điểm nằm trên đường tròn có đường kính là một đoạn thẳng, thì góc tạo bởi đoạn thẳng đó và một đoạn thẳng nối từ điểm đó đến một điểm khác trên đường tròn là góc vuông. - Do đó, góc \( \angle OAB \) và góc \( \angle OAC \) đều là góc vuông. Điều này có nghĩa là tam giác OAB và tam giác OAC đều là tam giác vuông tại B và C tương ứng. b) Chứng minh AB và AC là hai tiếp tuyến của (O). - Để chứng minh AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), ta cần chứng minh rằng góc giữa bán kính và tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc là góc vuông. - Từ phần a, ta đã biết rằng \( \angle OAB = 90^\circ \) và \( \angle OAC = 90^\circ \). - Do đó, OB vuông góc với AB và OC vuông góc với AC. Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. - Vậy, AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Kết luận: Tam giác OAB và tam giác OAC đều là tam giác vuông, và AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài tập 5.44: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Xác định loại tam giác OAB: 1. Xét tam giác OAB với các cạnh: \( OA = 5 \) cm (bán kính đường tròn), \( OB = 13 \) cm, và \( AB = 12 \) cm. 2. Kiểm tra xem tam giác OAB có phải là tam giác vuông hay không bằng cách sử dụng định lý Pythagore: \[ OA^2 + AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \] \[ OB^2 = 13^2 = 169 \] Vì \( OA^2 + AB^2 = OB^2 \), nên tam giác OAB là tam giác vuông tại A. b) Chứng minh đường thẳng BA tiếp xúc với đường tròn (O): 1. Để chứng minh BA tiếp xúc với đường tròn (O) tại A, ta cần chứng minh rằng \( OA \) vuông góc với \( AB \). 2. Từ phần a), ta đã chứng minh tam giác OAB là tam giác vuông tại A, tức là \( OA \) vuông góc với \( AB \). 3. Do đó, đường thẳng BA tiếp xúc với đường tròn (O) tại điểm A. Kết luận: a) Tam giác OAB là tam giác vuông tại A. b) Đường thẳng BA tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Bài tập 5.45: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) So sánh tam giác OAB và tam giác OAC: 1. Xét tam giác OAB và tam giác OAC: - Ta có \( AB = AC \) (giả thiết). - \( OB = OC \) (vì B và C đều thuộc đường tròn (O)). - \( OA \) là cạnh chung của hai tam giác. 2. Kết luận: - Theo định lý ba cạnh bằng nhau, tam giác OAB và tam giác OAC là hai tam giác bằng nhau (cạnh-cạnh-cạnh). b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O): 1. Xét tam giác OAC: - Ta đã chứng minh tam giác OAB và tam giác OAC bằng nhau. - Do đó, góc \( OAB = OAC \). 2. Chứng minh AC là tiếp tuyến: - Vì \( AB \) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, nên \( \angle OAB = 90^\circ \). - Do đó, \( \angle OAC = 90^\circ \) (vì \( \angle OAB = \angle OAC \)). 3. Kết luận: - Vì \( \angle OAC = 90^\circ \), nên AC vuông góc với OC tại C. - Do đó, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C. Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác OAB và tam giác OAC bằng nhau, và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài tập 5.46: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) So sánh tam giác OAC và tam giác OBC: - Xét tam giác OAC và tam giác OBC, ta có: - \(OA = OB\) (vì A và B thuộc đường tròn (O)). - \(OC\) là chung. - \(\angle OAC = \angle OBC\) (vì C nằm trên tia phân giác của \(\angle AOB\)). Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\triangle OAC \cong \triangle OBC\). b) Chứng minh đường thẳng BC là tiếp tuyến của (O): - Vì \(\triangle OAC \cong \triangle OBC\), nên \(\angle OAC = \angle OBC\). - Ta đã biết \(\angle OAC\) là góc giữa tiếp tuyến tại A và bán kính OA, do đó \(\angle OAC = 90^\circ\). - Vậy \(\angle OBC = 90^\circ\). Do đó, BC vuông góc với OB tại B, mà OB là bán kính của đường tròn (O), nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. Kết luận: - Tam giác OAC và tam giác OBC là hai tam giác bằng nhau. - Đường thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. Bài tập 5.47: Để chứng minh CB là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta thực hiện các bước sau: a) Chứng minh CB là tiếp tuyến của (O): 1. Xét tam giác vuông OAC: - Do OC vuông góc với AB, nên OC là đường cao của tam giác OAC. - Vì OC là đường cao, nên tam giác OAC là tam giác vuông tại O. 2. Tính góc OAC: - Vì OC vuông góc với AB, nên góc OAC = 90 độ. 3. Chứng minh CB là tiếp tuyến: - Ta cần chứng minh rằng CB vuông góc với OB. - Xét tam giác OBC, ta có: - OC là đường cao từ O, nên OC vuông góc với BC. - Do đó, góc OBC = 90 độ. - Vì góc OBC = 90 độ, nên CB vuông góc với OB. 4. Kết luận: - Do CB vuông góc với OB tại B, nên CB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. Vậy, CB là tiếp tuyến của đường tròn (O).