omg cc cứu ttt

Bài tập 5.81: Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm trong đường tròn. a) Tìm số đo các góc $\widehat{BCA}$ và $\widehat{BAC}$ 1. Tính góc $\widehat{BOA}$: - Góc ở tâm $\widehat{BOA}$ bằng tổng của hai góc $\widehat{AOB}$ và $\widehat{BOC}$. - Do đó, $\widehat{BOA} = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$. 2. Tính góc nội tiếp $\widehat{BCA}$: - Góc nội tiếp $\widehat{BCA}$ chắn cung $\overset\frown{BA}$. - Theo tính chất của góc nội tiếp, góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm chắn cùng cung. - Do đó, $\widehat{BCA} = \frac{1}{2} \times \widehat{BOA} = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$. 3. Tính góc nội tiếp $\widehat{BAC}$: - Góc nội tiếp $\widehat{BAC}$ chắn cung $\overset\frown{BC}$. - Góc ở tâm chắn cung $\overset\frown{BC}$ là $\widehat{AOC}$. - $\widehat{AOC} = \widehat{AOB} + \widehat{BOC} = 50^\circ + 30^\circ = 80^\circ$. - Do đó, $\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOC} = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$. b) Tìm số đo các góc $\widehat{MBA}$ và $\widehat{BAN}$ 1. Tính góc $\widehat{MBA}$: - Điểm M chia cung nhỏ $\overset\frown{AB}$ thành hai phần bằng nhau, do đó góc nội tiếp $\widehat{MBA}$ chắn nửa cung $\overset\frown{AB}$. - Góc ở tâm chắn cung $\overset\frown{AB}$ là $\widehat{AOB} = 50^\circ$. - Do đó, góc nội tiếp chắn nửa cung là $\widehat{MBA} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \widehat{AOB} = \frac{1}{2} \times 25^\circ = 25^\circ$. 2. Tính góc $\widehat{BAN}$: - Điểm N chia cung nhỏ $\overset\frown{AC}$ thành hai phần bằng nhau, do đó góc nội tiếp $\widehat{BAN}$ chắn nửa cung $\overset\frown{AC}$. - Góc ở tâm chắn cung $\overset\frown{AC}$ là $\widehat{AOC} = 80^\circ$. - Do đó, góc nội tiếp chắn nửa cung là $\widehat{BAN} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \widehat{AOC} = \frac{1}{2} \times 40^\circ = 20^\circ$. Kết luận: - Số đo các góc là: - $\widehat{BCA} = 40^\circ$, $\widehat{BAC} = 40^\circ$. - $\widehat{MBA} = 25^\circ$, $\widehat{BAN} = 20^\circ$. Bài tập 5.82: a) Góc \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC\). Góc \(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC\). Theo tính chất của góc nội tiếp, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Do đó, \(\widehat{BAC} = \widehat{BDC}\). b) Biết \(\widehat{AOB} = 120^\circ\), ta có: Góc \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\), và \(\widehat{AOB}\) là góc ở tâm chắn cung \(AB\). Theo tính chất, góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm chắn cùng một cung. Do đó: \[ \widehat{ACB} = \frac{1}{2} \times \widehat{AOB} = \frac{1}{2} \times 120^\circ = 60^\circ \] c) Để tính số đo góc \(\widehat{BAD}\) và \(\widehat{BCD}\): - Góc \(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD\). - Góc \(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BD\). Vì \(\widehat{BAC} = \widehat{BDC}\) và \(\widehat{ACB} = 60^\circ\), ta có: \[ \widehat{BAD} = \widehat{BCD} = \widehat{BAC} = 60^\circ \] Vậy, \(\widehat{BAD} = 60^\circ\) và \(\widehat{BCD} = 60^\circ\). Bài tập 5.83: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của đường tròn và góc nội tiếp. a) Tìm số đo các góc \(\widehat{ACB}\) và \(\widehat{ADC}\). 1. Góc \(\widehat{ACB}\): - Vì \(AB\) là đường kính, nên \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. - Do đó, \(\widehat{ACB} = 90^\circ\). 2. Góc \(\widehat{ADC}\): - Tương tự, \(CD\) là đường kính, nên \(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. - Do đó, \(\widehat{ADC} = 90^\circ\). b) Tìm số đo các góc \(\widehat{ADM}\) và \(\widehat{NCB}\). 1. Góc \(\widehat{ADM}\): - Điểm \(M\) chia cung nhỏ \(\overset\frown{AC}\) thành hai cung bằng nhau, nên \(\widehat{ADM}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overset\frown{AM}\). - Vì \(\overset\frown{AC}\) là nửa đường tròn, nên \(\overset\frown{AM} = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ\). - Do đó, \(\widehat{ADM} = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ\). 2. Góc \(\widehat{NCB}\): - Điểm \(N\) chia cung nhỏ \(\widehat{BC}\) thành hai cung bằng nhau, nên \(\widehat{NCB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(\overset\frown{NB}\). - Vì \(\overset\frown{BC}\) là nửa đường tròn, nên \(\overset\frown{NB} = \frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ\). - Do đó, \(\widehat{NCB} = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ\). Vậy, các góc cần tìm là: - \(\widehat{ACB} = 90^\circ\), \(\widehat{ADC} = 90^\circ\). - \(\widehat{ADM} = 45^\circ\), \(\widehat{NCB} = 45^\circ\). Bài tập 5.84: Để so sánh các góc sút \( \angle MXN \), \( \angle MYN \), và \( \angle MZN \), ta cần sử dụng tính chất của góc nội tiếp trong đường tròn. 1. Góc nội tiếp chắn cùng một cung: - Các góc nội tiếp cùng chắn cung \( MN \) là \( \angle MXN \), \( \angle MYN \), và \( \angle MZN \). 2. So sánh các góc: - Theo tính chất của góc nội tiếp, góc nào có đỉnh gần cung bị chắn hơn thì góc đó lớn hơn. - Trong hình, điểm \( X \) nằm xa cung \( MN \) nhất, tiếp theo là điểm \( Y \), và gần nhất là điểm \( Z \). 3. Kết luận: - Do đó, \( \angle MZN > \angle MYN > \angle MXN \). Vậy, góc sút từ vị trí \( Z \) là lớn nhất, tiếp theo là từ vị trí \( Y \), và nhỏ nhất là từ vị trí \( X \). Bài tập 5.85: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số tính chất của đường tròn và tiếp tuyến. 1. Tính chất của tiếp tuyến: Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. Do đó, \(OA \perp MA\) và \(OB \perp MB\). 2. Tính chất của tam giác vuông: Trong tam giác vuông, tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền. Do đó, trong tam giác vuông \(OMA\), ta có: \[ OM^2 = OA^2 + AM^2 \] Thay số vào, ta có: \[ 10^2 = 5^2 + AM^2 \] \[ 100 = 25 + AM^2 \] \[ AM^2 = 75 \] \[ AM = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] 3. Tính góc ở tâm: Do \(OA\) và \(OB\) là hai bán kính của đường tròn và \(MA\) và \(MB\) là hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn, nên tam giác \(OAB\) là tam giác cân tại \(O\). 4. Tính góc \(\angle AOB\): Ta có tam giác \(OMA\) và \(OMB\) là hai tam giác vuông cân tại \(A\) và \(B\) tương ứng, do đó \(\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ\). 5. Sử dụng tính chất đối xứng: Do \(MA = MB\) và \(OA = OB\), tam giác \(OAB\) là tam giác cân tại \(O\) và \(\angle AOB\) là góc ở tâm cần tìm. Ta có: \[ \angle AOB = 2 \times \angle OMA = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \] Vậy số đo góc ở tâm \(\angle AOB\) là \(120^\circ\). Bài tập 5.86: Để so sánh các cung \(\overset\frown{BD}, \widehat{DE}, \widehat{EC}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí các điểm D và E: - Tam giác ABC là tam giác đều, do đó \(AB = AC = BC\). - Nửa đường tròn có đường kính BC, do đó tâm của nửa đường tròn là trung điểm của BC. - Điểm D nằm trên cạnh AB và điểm E nằm trên cạnh AC. 2. Tính chất của nửa đường tròn: - Vì D và E nằm trên nửa đường tròn có đường kính BC, nên các góc \(\angle BDC\) và \(\angle BEC\) đều là góc vuông (theo định lý góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 3. So sánh các cung: - Cung \(\overset\frown{BD}\) và cung \(\overset\frown{EC}\) đều là các cung nhỏ hơn nửa đường tròn, vì D và E nằm trên nửa đường tròn. - Cung \(\widehat{DE}\) là cung nằm giữa hai điểm D và E trên nửa đường tròn. 4. Lập luận so sánh: - Do tam giác ABC đều, nên \(AB = AC\). Vì D và E nằm trên các cạnh AB và AC, và nửa đường tròn có đường kính BC, nên các cung \(\overset\frown{BD}\) và \(\overset\frown{EC}\) có độ dài bằng nhau. - Cung \(\widehat{DE}\) là phần còn lại của nửa đường tròn sau khi trừ đi hai cung \(\overset\frown{BD}\) và \(\overset\frown{EC}\). Do đó, cung \(\widehat{DE}\) lớn hơn mỗi cung \(\overset\frown{BD}\) và \(\overset\frown{EC}\). 5. Kết luận: - Cung \(\overset\frown{BD} = \overset\frown{EC}\). - Cung \(\widehat{DE}\) lớn hơn cung \(\overset\frown{BD}\) và cung \(\overset\frown{EC}\). Vậy, ta có: \(\overset\frown{BD} = \overset\frown{EC} < \widehat{DE}\). Bài tập 5.87: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Tính số đo mỗi cung: Giả sử số đo cung nhỏ là \( x \) độ. Theo đề bài, cung lớn có số đo bằng ba lần cung nhỏ, do đó số đo cung lớn là \( 3x \) độ. Vì tổng số đo của hai cung trên một đường tròn là \( 360^\circ \), ta có phương trình: \[ x + 3x = 360 \] Giải phương trình này: \[ 4x = 360 \] \[ x = 90 \] Vậy số đo cung nhỏ là \( 90^\circ \) và số đo cung lớn là \( 270^\circ \). b) Chứng minh khoảng cách OH từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng \(\frac{AB}{2}\): Để chứng minh điều này, ta cần sử dụng một số kiến thức hình học về đường tròn. 1. Gọi \( M \) là trung điểm của dây cung \( AB \). Theo tính chất của đường tròn, đường thẳng \( OM \) vuông góc với dây cung \( AB \) tại \( M \). 2. Vì cung nhỏ \( AB \) có số đo \( 90^\circ \), nên góc ở tâm \( \angle AOB = 90^\circ \). 3. Tam giác \( \triangle AOB \) là tam giác vuông tại \( O \) với \( \angle AOB = 90^\circ \). 4. Trong tam giác vuông \( \triangle AOB \), \( OM \) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \( AB \). Theo tính chất của tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa độ dài cạnh huyền. 5. Do đó, \( OM = \frac{AB}{2} \). Vậy khoảng cách từ tâm \( O \) đến dây cung \( AB \) là \( \frac{AB}{2} \). Bài tập 5.88: Để tìm góc giữa kim giờ và kim phút của đồng hồ vào các thời điểm khác nhau, ta cần biết rằng: - Mỗi giờ, kim giờ di chuyển 30 độ (vì 360 độ chia cho 12 giờ). - Mỗi phút, kim phút di chuyển 6 độ (vì 360 độ chia cho 60 phút). Bây giờ, ta sẽ tính góc giữa kim giờ và kim phút cho từng thời điểm: a) 2 giờ: - Kim giờ ở vị trí 2 giờ, tức là \(2 \times 30 = 60\) độ từ vị trí 12 giờ. - Kim phút ở vị trí 12 giờ, tức là 0 độ. Góc giữa kim giờ và kim phút là: \(60 - 0 = 60\) độ. b) 8 giờ: - Kim giờ ở vị trí 8 giờ, tức là \(8 \times 30 = 240\) độ từ vị trí 12 giờ. - Kim phút ở vị trí 12 giờ, tức là 0 độ. Góc giữa kim giờ và kim phút là: \(240 - 0 = 240\) độ. Tuy nhiên, vì góc lớn nhất giữa hai kim đồng hồ là 180 độ (do đó là góc nhỏ hơn), ta cần tính góc nhỏ hơn: \(360 - 240 = 120\) độ. c) 21 giờ (tức là 9 giờ tối): - Kim giờ ở vị trí 9 giờ, tức là \(9 \times 30 = 270\) độ từ vị trí 12 giờ. - Kim phút ở vị trí 12 giờ, tức là 0 độ. Góc giữa kim giờ và kim phút là: \(270 - 0 = 270\) độ. Tương tự như trên, ta cần tính góc nhỏ hơn: \(360 - 270 = 90\) độ. Tóm lại: - a) 2 giờ: Góc giữa kim giờ và kim phút là 60 độ. - b) 8 giờ: Góc giữa kim giờ và kim phút là 120 độ. - c) 21 giờ: Góc giữa kim giờ và kim phút là 90 độ. Bài tập 5.89: Để giải bài toán này, ta cần xác định số đo cung AB của đường tròn lớn khi tiếp tuyến của đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn tại hai điểm A và B. 1. Xác định các yếu tố liên quan: - Đường tròn lớn có tâm O và bán kính R. - Đường tròn nhỏ có tâm O và bán kính $\frac{R\sqrt{3}}{2}$. 2. Tiếp tuyến và tính chất: - Gọi tiếp tuyến của đường tròn nhỏ là đường thẳng d. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại điểm T. - Vì d là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ, nên OT vuông góc với d tại T. 3. Xác định vị trí của A và B: - Đường thẳng d cắt đường tròn lớn tại hai điểm A và B. - Do OT vuông góc với d, nên OT là đường cao của tam giác OAB. 4. Tính số đo cung AB: - Tam giác OAT và OBT là hai tam giác vuông tại T. - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OAT, ta có: \[ OA^2 = OT^2 + AT^2 \] - Vì OT là bán kính của đường tròn nhỏ, nên $OT = \frac{R\sqrt{3}}{2}$. - OA là bán kính của đường tròn lớn, nên $OA = R$. - Thay vào phương trình Pythagore: \[ R^2 = \left(\frac{R\sqrt{3}}{2}\right)^2 + AT^2 \] \[ R^2 = \frac{3R^2}{4} + AT^2 \] \[ AT^2 = R^2 - \frac{3R^2}{4} = \frac{R^2}{4} \] \[ AT = \frac{R}{2} \] 5. Tính góc AOB: - Trong tam giác OAT, góc OAT là góc nhọn và $\cos(\angle OAT) = \frac{OT}{OA} = \frac{\frac{R\sqrt{3}}{2}}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. - Do đó, $\angle OAT = 30^\circ$. - Vì OT là đường cao, nên $\angle AOB = 2 \times \angle OAT = 60^\circ$. 6. Kết luận: - Số đo cung AB của đường tròn lớn là $60^\circ$. Bài tập 5.90: Để xác định số đo các cung trong một hình tròn, chúng ta cần biết một số thông tin cơ bản về hình tròn và các góc nội tiếp, góc ở tâm, và các cung liên quan. Tuy nhiên, vì bạn không cung cấp hình vẽ cụ thể, tôi sẽ hướng dẫn cách xác định số đo các cung dựa trên một số nguyên tắc cơ bản. Giả sử chúng ta có một hình tròn với tâm \(O\) và các điểm \(A\), \(B\), \(C\) nằm trên đường tròn đó. Chúng ta cần xác định số đo các cung \(\overset\frown{AB}\), \(\overset\frown{BC}\), và \(\overset\frown{CA}\). Nguyên tắc cơ bản: 1. Góc ở tâm: Góc có đỉnh là tâm của hình tròn và hai cạnh đi qua hai điểm trên đường tròn. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn bởi góc đó. 2. Góc nội tiếp: Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn. Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn bởi góc đó. 3. Tổng số đo các cung trong một hình tròn: Tổng số đo các cung của một hình tròn là \(360^\circ\). Cách xác định số đo các cung: - Bước 1: Xác định góc ở tâm hoặc góc nội tiếp nếu có thông tin về chúng. Sử dụng các nguyên tắc trên để tính số đo các cung. - Bước 2: Nếu biết số đo của một cung, có thể suy ra số đo của các cung còn lại bằng cách sử dụng tổng số đo các cung là \(360^\circ\). - Bước 3: Nếu có các góc nội tiếp chắn cùng một cung, sử dụng tính chất của góc nội tiếp để xác định số đo cung. Ví dụ minh họa: Giả sử bạn có một góc ở tâm \(\angle AOB = 60^\circ\). Khi đó, số đo của cung \(\overset\frown{AB}\) là \(60^\circ\). Nếu có một góc nội tiếp \(\angle ACB = 30^\circ\), thì số đo của cung \(\overset\frown{AB}\) cũng là \(60^\circ\) vì góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn. Nếu bạn có thêm thông tin về các góc khác hoặc các cung khác, bạn có thể tiếp tục sử dụng các nguyên tắc trên để xác định số đo của các cung còn lại. Nếu bạn có hình vẽ cụ thể hoặc thêm thông tin, vui lòng cung cấp để tôi có thể giúp bạn chi tiết hơn.