Cho đg tròn tâm O đg kính AB. Gọi Ax là tiếp tuyến của O. Lấy C thuộc đg tròn. Tiếp tuyến tại C cắt Ax tại K. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Gọi I là giao của KB và CH. Gọi M là giao của BC và AK.
a) C/m K là trung điểm của AM
b) C/m I là trung điểm của CH

Question

Cho đg tròn tâm O đg kính AB. Gọi Ax là tiếp tuyến của O. Lấy C thuộc đg tròn. Tiếp tuyến tại C cắt Ax tại K. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Gọi I là giao của KB và CH. Gọi M là giao của BC và AK. 
a) C/m K là trung điểm của AM
 b) C/m I là trung điểm của CH

Mei · Accepted Answer

a) Chứng minh K là trung điểm của AMĐể chứng minh $K$ là trung điểm của $AM$, ta cần chứng minh $KA = KM$.Tính chất tiếp tuyến:Theo giả thiết, $KA$ và $KC$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $K$ của đường tròn $(O)$.Suy ra: $KA = KC$ (1).Tam giác $KAC$ cân tại $K \Rightarrow \widehat{KAC} = \widehat{KCA}$.Sử dụng góc trong đường tròn:$\widehat{ACB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).Xét tam giác $ACM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{ACB} = 90^\circ$ nên $MC \perp AC$):Trong tam giác vuông $ACM$, ta có: $\widehat{KMC} = 90^\circ - \widehat{KAC}$.Lại có: $\widehat{KCM} = 90^\circ - \widehat{KCA}$.Vì $\widehat{KAC} = \widehat{KCA}$, nên $\widehat{KMC} = \widehat{KCM}$.Kết luận:Tam giác $KMC$ cân tại $K \Rightarrow KC = KM$ (2).Từ (1) và (2), suy ra $KA = KM$. Vậy $K$ là trung điểm của $AM$.b) Chứng minh I là trung điểm của CHPhần này chúng ta sẽ sử dụng hệ quả của định lý Thales trong các tam giác có các đường thẳng song song.Xác định các cặp đường thẳng song song:$Ax$ là tiếp tuyến tại $A$ nên $Ax \perp AB$.$CH$ là hình chiếu của $C$ trên $AB$ nên $CH \perp AB$.Suy ra $CH \parallel AM$ (vì cùng vuông góc với $AB$).Áp dụng định lý Thales:Xét $\Delta ABK$, có $IH \parallel AK$ (vì $I \in CH$ và $CH \parallel AK$): $\frac{IH}{AK} = \frac{BI}{BK} \quad (3)$ Xét $\Delta BMK$, có $CI \parallel KM$ (vì $I \in CH$ và $CH \parallel KM$): $\frac{CI}{KM} = \frac{BI}{BK} \quad (4)$ Kết luận:Từ (3) và (4), ta có: $\frac{IH}{AK} = \frac{CI}{KM}$.Mà theo chứng minh ở câu a, ta đã có $AK = KM$.Từ đó suy ra $IH = CI$.Vậy $I$ là trung điểm của $CH$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

a) Chứng minh K là trung điểm của AM

1. Xét tam giác vuông và tính chất tiếp tuyến:
   - Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A, nên góc $ \angle CAK = 90^\circ $.
   - Do đó, tam giác $ \triangle CAK $ là tam giác vuông tại A.

2. Tính chất của đường tròn:
   - Vì AB là đường kính của đường tròn, nên góc $ \angle ACB = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

3. Tính chất của tiếp tuyến:
   - Vì CK là tiếp tuyến tại C, nên $ \angle ACK = 90^\circ $.

4. Chứng minh K là trung điểm của AM:
   - Xét tam giác $ \triangle AKC $ và $ \triangle AKM $:
     - $ \angle CAK = \angle MAK = 90^\circ $.
     - $ AK $ là cạnh chung.
     - Do đó, $ \triangle AKC \cong \triangle AKM $ (góc - cạnh - góc).
   - Suy ra, $ KC = KM $.
   - Vậy, K là trung điểm của AM.

b) Chứng minh I là trung điểm của CH

1. Xét tam giác vuông và tính chất hình chiếu:
   - H là hình chiếu của C trên AB, nên $ CH \perp AB $.

2. Tính chất của đường tròn và tiếp tuyến:
   - Vì CK là tiếp tuyến tại C, nên $ \angle ACK = 90^\circ $.

3. Chứng minh I là trung điểm của CH:
   - Xét tam giác $ \triangle CHK $ và $ \triangle BIK $:
     - $ \angle CHK = \angle BIK = 90^\circ $.
     - $ CK = BK $ (do K là trung điểm của AM và M là giao của BC và AK).
     - $ \angle HCK = \angle BIK $ (cùng chắn cung CK).
   - Do đó, $ \triangle CHK \cong \triangle BIK $ (góc - cạnh - góc).
   - Suy ra, $ IH = IC $.
   - Vậy, I là trung điểm của CH.

Với các bước lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được K là trung điểm của AM và I là trung điểm của CH.

Cho đg tròn tâm O đg kính AB. Gọi Ax là tiếp tuyến của O. Lấy C thuộc đg tròn. Tiếp tuyến tại C cắt Ax tại K. Gọi H là hình chiếu của C trên AB. Gọi I là giao của KB và CH. Gọi M là giao của BC và AK....