giải bài 4 Giúp mình với!

Bài 1: Ta có: $\frac{1}{1.2}=\frac{2-1}{1.2}=\frac{2}{1.2}-\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2.3}=\frac{3-2}{2.3}=\frac{3}{2.3}-\frac{2}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3.4}=\frac{4-3}{3.4}=\frac{4}{3.4}-\frac{3}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$ ... $\frac{1}{2004.2005}=\frac{2005-2004}{2004.2005}=\frac{2005}{2004.2005}-\frac{2004}{2004.2005}=\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}$ Do đó: $S=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2004.2005}$ $=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005})$ $=1-\frac{1}{2005}=\frac{2004}{2005}$ Bài 2: a) Ta có: \[ 1024 : (17 \cdot 2^5 + 15 \cdot 2^5) \] \[ = 1024 : [2^5 \cdot (17 + 15)] \] \[ = 1024 : (32 \cdot 32) \] \[ = 1024 : 1024 \] \[ = 1 \] b) Ta có: \[ 5^3 \cdot 2 + (23 + 4^0) : 2^3 \] \[ = 125 \cdot 2 + (23 + 1) : 8 \] \[ = 250 + 24 : 8 \] \[ = 250 + 3 \] \[ = 253 \] c) Ta có: \[ (5 \cdot 3^5 + 17 \cdot 3^4) : 6^2 \] \[ = (5 \cdot 243 + 17 \cdot 81) : 36 \] \[ = (1215 + 1377) : 36 \] \[ = 2592 : 36 \] \[ = 72 \] Bài 3: a) Ta có: \(A = 5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^{2018} + 5^{2019}\) Nhân cả hai vế với 5 ta có: \(5A = 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{2019} + 5^{2020}\) Lấy \(5A - A\) ta có: \(5A - A = 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^{2019} + 5^{2020} - (5^0 + 5^1 + 5^2 + ... + 5^{2018} + 5^{2019})\) \(4A = 5^{2020} - 5^0\) \(4A = 5^{2020} - 1\) \(A = \frac{5^{2020} - 1}{4}\) b) Ta có: \(B = 5 + 5^3 + 5^3 + 5^7 + ... + 5^{10}\) Nhân cả hai vế với 5 ta có: \(5B = 5^2 + 5^4 + 5^5 + 5^8 + ... + 5^{11}\) Lấy \(5B - B\) ta có: \(5B - B = 5^2 + 5^4 + 5^5 + 5^8 + ... + 5^{11} - (5 + 5^3 + 5^3 + 5^7 + ... + 5^{10})\) \(4B = 5^{11} - 5\) \(4B = 5^{11} - 5\) \(B = \frac{5^{11} - 5}{4}\) Bài 4: a) Ta có: $\frac{1.2.3+2.4.6+4.8.12+7.14.21}{1.3.5+2.6.10+4.12.20+7.21.35}=\frac{1.2.3+2.2.3.2+4.2.3.4+7.2.3.7}{1.3.5+2.3.5.2+4.3.5.4+7.3.5.7}$ $=\frac{1.2.3(1+2^{2}+4^{2}+7^{2})}{1.3.5(1+2^{2}+4^{2}+7^{2})}=\frac{1.2.3}{1.3.5}=\frac{2}{5}.$ b) Ta có: $\frac{1.7.9+3.21.27+5.35.45+7.49.63}{1.3.5+3.9.15+5.15.25+7.21.35}=\frac{1.7.9+3.7.9.3+5.7.9.5+7.7.9.7}{1.3.5+3.3.5.3+5.3.5.5+7.3.5.7}$ $=\frac{1.7.9(1+3^{2}+5^{2}+7^{2})}{1.3.5(1+3^{2}+5^{2}+7^{2})}=\frac{1.7.9}{1.3.5}=\frac{21}{5}.$ Bài 5: a) Ta có: $128^7=(2^7)^7=2^{49}$ $4^{24}=(2^2)^{24}=2^{48}$ Mà $2^{49}>2^{48}.$ Vậy $128^7>4^{24}.$ b) Ta có: $81^8=(3^4)^8=3^{32}$ $27^{10}=(3^3)^{10}=3^{30}$ Mà $3^{32}>3^{30}.$ Vậy $81^8>27^{10}.$ Bài 6: Để xác định hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có song song với nhau hay không, ta cần kiểm tra xem các cặp góc so le trong có bằng nhau không. 1. Xét góc \(\widehat{I_4}\) và \(\widehat{J_4}\): - Theo đề bài, \(\widehat{I_4} = \widehat{J_4} = 52^\circ\). 2. Kiểm tra điều kiện song song: - Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song khi và chỉ khi các cặp góc so le trong bằng nhau. Ở đây, \(\widehat{I_4}\) và \(\widehat{J_4}\) là một cặp góc so le trong và chúng bằng nhau. - Do đó, hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song với nhau. 3. Tính số đo các góc còn lại: - \(\widehat{I_2}\) và \(\widehat{J_2}\) là cặp góc so le trong khác, nên \(\widehat{I_2} = \widehat{J_2} = 52^\circ\). - \(\widehat{I_1}\) và \(\widehat{J_1}\) là cặp góc so le trong khác, nên \(\widehat{I_1} = \widehat{J_1} = 180^\circ - 52^\circ = 128^\circ\). - \(\widehat{I_3}\) và \(\widehat{J_3}\) là cặp góc so le trong khác, nên \(\widehat{I_3} = \widehat{J_3} = 128^\circ\). Tóm lại, các góc còn lại có số đo như sau: - \(\widehat{I_1} = \widehat{J_1} = 128^\circ\) - \(\widehat{I_2} = \widehat{J_2} = 52^\circ\) - \(\widehat{I_3} = \widehat{J_3} = 128^\circ\) Vậy, hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) song song với nhau. Bài 7: a) Ta có $\frac1{1.2}+\frac1{2.3}+\frac1{3.4}+...+\frac1{572.573}=1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+...+\frac1{572}-\frac1{573}=1-\frac1{573}=\frac{572}{573}$ Do đó $2x.\frac{572}{573}=\frac{572}{573}$. Vậy $x=\frac12.$ b) Ta có $\frac3{1.2}+\frac7{2.3}+\frac{13}{3.4}+...+\frac{211}{14.15}=3+4+5+...+15=134$ Do đó $6x+134=\frac{134}{15}$. Vậy $x=-\frac{1047}{45}.$ c) Ta có $\frac{13}{1.3}+\frac{13}{3.5}+\frac{13}{5.7}+...+\frac{13}{x.(x+2)}=\frac{13}{2}.(1-\frac13+\frac13-\frac15+\frac15-\frac17+...+\frac1{x}-\frac1{x+2})=\frac{13}{2}.(1-\frac1{x+2})=\frac{13}{2}.\frac{x+1}{x+2}$ Do đó $\frac{13}{2}.\frac{x+1}{x+2}=\frac{8125}{1252}$. Vậy $x=1250.$ d) Ta có $\frac{16}{4.7}+\frac{16}{7.10}+\frac{16}{10.13}+...+\frac{16}{x.(x+3)}=\frac{16}{3}.(\frac14-\frac17+\frac17-\frac1{10}+\frac1{10}-\frac1{13}+...+\frac1{x}-\frac1{x+3})=\frac{16}{3}.(\frac14-\frac1{x+3})=\frac{16}{3}.\frac{x-1}{4(x+3)}$ Do đó $\frac{16}{3}.\frac{x-1}{4(x+3)}=\frac{736}{555}$. Vậy $x=551.$ Bài 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \(\Delta AOD = \Delta COB\): 1. Xét các đoạn thẳng: - Ta có \(OA = OC\) (do \(C\) thuộc tia \(Oy\) và \(OC = OA\)). - Ta có \(OB = OD\) (do \(D\) thuộc tia \(Oy\) và \(OD = OB\)). 2. Xét các góc: - Góc \(\angle AOD\) và góc \(\angle COB\) là hai góc đối đỉnh, do đó \(\angle AOD = \angle COB\). 3. Kết luận: - Từ các điều kiện trên, ta có \(\Delta AOD\) và \(\Delta COB\) có: - \(OA = OC\), - \(OD = OB\), - \(\angle AOD = \angle COB\). - Do đó, theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c-g-c), ta có \(\Delta AOD = \Delta COB\). b) Chứng minh \(MB = MD\): 1. Xét tam giác \(\Delta AOD\) và \(\Delta COB\): - Từ phần a), ta đã chứng minh được \(\Delta AOD = \Delta COB\). 2. Xét các đoạn thẳng: - Do \(\Delta AOD = \Delta COB\), nên các đoạn thẳng tương ứng của hai tam giác này bằng nhau. - Đặc biệt, ta có \(AD = CB\). 3. Xét tam giác \(\Delta MBD\) và \(\Delta MBD\): - \(M\) là giao điểm của \(AD\) và \(CB\), do đó \(M\) nằm trên cả hai đoạn thẳng này. - Trong tam giác \(\Delta MBD\), do \(AD = CB\) và \(M\) là trung điểm của cả hai đoạn thẳng này, nên \(MB = MD\). 4. Kết luận: - Từ các điều kiện trên, ta có \(MB = MD\). Vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.