một học sinh tham gia hoạt động gây quỹ bằng cách xếp giấy Origami để bán . bạn cần 2 giờ để xếp được một mô hình cỡ nhỏ , bán với giá 90000₫ và 3 giờ để xếp được một mô hình cỡ trung , bán với giá 120...

Gọi: - \( x \) là số mô hình cỡ nhỏ, - \( y \) là số mô hình cỡ trung. Theo đề bài, ta có các điều kiện: 1. Thời gian xếp mô hình không quá 15 giờ: \[ 2x + 3y \leq 15 \] 2. Số mô hình xếp được ít nhất là 6: \[ x + y \geq 6 \] 3. Số mô hình phải là số nguyên không âm: \[ x \geq 0, \quad y \geq 0 \] Học sinh muốn thu được số tiền gây quỹ cao nhất, nên ta cần tối đa hóa hàm lợi nhuận: \[ Z = 90,000x + 120,000y \] --- **Bước 1: Viết lại các bất phương trình** - \( 2x + 3y \leq 15 \) - \( x + y \geq 6 \) - \( x \geq 0, y \geq 0 \) --- **Bước 2: Tìm các điểm góc của miền nghiệm** Ta sẽ tìm giao điểm của các đường: - \( 2x + 3y = 15 \) - \( x + y = 6 \) Giải hệ: \[ \begin{cases} 2x + 3y = 15 \\ x + y = 6 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai: \( y = 6 - x \) Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 2x + 3(6 - x) = 15 \\ 2x + 18 - 3x = 15 \\ -x + 18 = 15 \\ -x = -3 \\ x = 3 \] Thay lại vào \( y = 6 - x \): \[ y = 6 - 3 = 3 \] Vậy giao điểm là \( (3, 3) \). --- **Bước 3: Xác định các điểm góc của miền nghiệm** Các điểm có thể là: - Điểm khi \( x = 0 \): - Từ \( 2x + 3y \leq 15 \) => \( 3y \leq 15 \Rightarrow y \leq 5 \) - Từ \( x + y \geq 6 \) => \( y \geq 6 \) Không tồn tại \( y \) thỏa hai điều kiện này khi \( x=0 \), vì \( y \leq 5 \) và \( y \geq 6 \) mâu thuẫn. - Điểm khi \( y=0 \): - Từ \( 2x + 3 \cdot 0 \leq 15 \Rightarrow 2x \leq 15 \Rightarrow x \leq 7.5 \) - Từ \( x + 0 \geq 6 \Rightarrow x \geq 6 \) Vậy \( x \) có thể từ 6 đến 7.5 khi \( y=0 \). - Giao điểm \( (3, 3) \) đã tìm được. --- **Bước 4: Xác định vùng nghiệm** Với điều kiện \( x + y \geq 6 \) và \( 2x + 3y \leq 15 \), vùng nghiệm là đa giác có các điểm góc: - \( (6, 0) \) (do \( x \geq 6, y=0 \)) - \( (7.5, 0) \) nhưng phải thỏa \( x + y \geq 6 \), với \( y=0 \), \( x=7.5 \geq 6 \) được chấp nhận - \( (3, 3) \) - \( (0, y) \) không thỏa điều kiện \( y \geq 6 \) khi \( x=0 \) Vậy các điểm quan tâm là \( (6,0) \), \( (7.5,0) \), và \( (3,3) \). --- **Bước 5: Tính giá trị hàm mục tiêu tại các điểm** - Tại \( (6, 0) \): \[ Z = 90,000 \times 6 + 120,000 \times 0 = 540,000 \text{ đồng} \] - Tại \( (7.5, 0) \): \[ Z = 90,000 \times 7.5 + 120,000 \times 0 = 675,000 \text{ đồng} \] - Tại \( (3, 3) \): \[ Z = 90,000 \times 3 + 120,000 \times 3 = 270,000 + 360,000 = 630,000 \text{ đồng} \] --- **Bước 6: Kiểm tra tính nguyên của số mô hình** Số mô hình phải là số nguyên, vì xếp giấy không thể xếp một phần mô hình. Điểm \( (7.5, 0) \) không hợp lệ vì \( x=7.5 \) không phải số nguyên. Điểm \( (6, 0) \) và \( (3, 3) \) đều hợp lệ. Ngoài ra, ta có thể thử các cặp nguyên trong miền nghiệm: - \( (4, 3) \): \[ 2 \times 4 + 3 \times 3 = 8 + 9 = 17 > 15 \quad \text{(vượt quá 15 giờ)} \] - \( (5, 2) \): \[ 2 \times 5 + 3 \times 2 = 10 + 6 = 16 > 15 \] - \( (3, 4) \): \[ 2 \times 3 + 3 \times 4 = 6 + 12 = 18 > 15 \] - \( (5, 1) \): \[ 2 \times 5 + 3 \times 1 = 10 + 3 = 13 \leq 15, \quad 5 + 1 = 6 \geq 6 \] Tính tiền: \[ Z = 90,000 \times 5 + 120,000 \times 1 = 450,000 + 120,000 = 570,000 \] - \( (4, 2) \): \[ 2 \times 4 + 3 \times 2 = 8 + 6 = 14 \leq 15, \quad 4 + 2 = 6 \geq 6 \] Tính tiền: \[ Z = 90,000 \times 4 + 120,000 \times 2 = 360,000 + 240,000 = 600,000 \] --- **Bước 7: Kết luận** Các phương án thỏa mãn nguyên và điều kiện: | x | y | Thời gian (giờ) | Tổng mô hình | Tiền thu được (đồng) | |---|---|-----------------|--------------|----------------------| | 6 | 0 | 12 | 6 | 540,000 | | 5 | 1 | 13 | 6 | 570,000 | | 4 | 2 | 14 | 6 | 600,000 | | 3 | 3 | 15 | 6 | 630,000 | Trong các lựa chọn trên, phương án \( (3, 3) \) thu được số tiền lớn nhất là 630,000 đồng. --- **Trả lời:** Học sinh đó có thể thu được số tiền gây quỹ cao nhất là **630,000 đồng** khi xếp 3 mô hình cỡ nhỏ và 3 mô hình cỡ trung, với tổng thời gian xếp là 15 giờ và tổng số mô hình là 6.