giup minh với

Câu 1: Để giải quyết các yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tính vector \(\overrightarrow{AB}\) Vector \(\overrightarrow{AB}\) được tính bằng cách lấy tọa độ điểm B trừ tọa độ điểm A: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - 1, 1 + 2, 2 - 3) = (-3, 3, -1) \] Vậy, \(\overrightarrow{AB} = (-3, 3, -1)\). b) Tìm trung điểm M của đoạn thẳng AB Trung điểm M của đoạn thẳng AB có tọa độ được tính bằng trung bình cộng tọa độ của A và B: \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2}\right) = \left(\frac{1 - 2}{2}, \frac{-2 + 1}{2}, \frac{3 + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \] Có một sự nhầm lẫn trong tọa độ z của M. Theo đề bài, M có tọa độ \(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\), nhưng tính toán cho thấy z phải là \(\frac{5}{2}\). Vui lòng kiểm tra lại thông tin đề bài hoặc tính toán. c) Tìm trọng tâm G của tam giác ABC Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh A, B, C: \[ G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) = \left(\frac{1 - 2 + 3}{3}, \frac{-2 + 1 - 1}{3}, \frac{3 + 2 + 2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{7}{3}\right) \] Có một sự nhầm lẫn trong tọa độ z của G. Theo đề bài, G có tọa độ \(\left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\), nhưng tính toán cho thấy z phải là \(\frac{7}{3}\). Vui lòng kiểm tra lại thông tin đề bài hoặc tính toán. d) Tính chu vi tam giác ABC Để tính chu vi tam giác ABC, ta cần tính độ dài các cạnh AB, BC, và CA. - Độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19} \] - Độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(3 + 2)^2 + (-1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] - Độ dài cạnh CA: \[ CA = \sqrt{(3 - 1)^2 + (-1 + 2)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] Chu vi tam giác ABC là: \[ AB + BC + CA = \sqrt{19} + \sqrt{29} + \sqrt{6} \] Theo đề bài, chu vi là 12,20 đơn vị độ dài. Vui lòng kiểm tra lại thông tin đề bài hoặc tính toán, vì kết quả tính toán không khớp với thông tin đề bài. Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến việc khảo sát chiều cao của học sinh nam và nữ lớp 10, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định. Câu a) Không thể sử dụng khoảng biến thiên để biết chiều cao của học sinh nam hay nữ đồng đều hơn. - Phân tích: Khoảng biến thiên (Range) là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong một tập hợp dữ liệu. - Kết luận: Đúng, vì khoảng biến thiên không phản ánh đầy đủ mức độ phân tán của các giá trị trong tập hợp dữ liệu. Do đó, không thể sử dụng khoảng biến thiên để đánh giá mức độ đồng đều của chiều cao học sinh nam hay nữ. Câu b) Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh nam nằm trong khoảng [165;170). - Phân tích: Tứ phân vị thứ hai (Q2) là trung vị của tập hợp dữ liệu. Để tìm Q2, chúng ta cần xác định vị trí của nó trong bảng phân phối tần số. - Tính toán: Tổng số học sinh nam là 90. Trung vị nằm ở vị trí thứ 45 (vì 90/2 = 45). - Bảng phân phối tần số của học sinh nam: - [150;155): 4 - [155;160): 6 - [160;165): 21 - [165;170): 46 - [170;175): 23 Đến khoảng [165;170), tổng tần số đã vượt quá 45 (4 + 6 + 21 = 31, 31 + 46 = 77). Vậy Q2 nằm trong khoảng [165;170). - Kết luận: Đúng, vì Q2 nằm trong khoảng [165;170). Câu c) Trung bình học sinh nam cao hơn học sinh nữ. - Phân tích: Chúng ta cần tính trung bình cộng của chiều cao học sinh nam và nữ. - Tính toán: - Học sinh nữ: - Số lượng: 100 - Chiều cao trung bình: \[ \text{Trung bình} = \frac{(152.5 \times 43) + (157.5 \times 31) + (162.5 \times 22) + (167.5 \times 3) + (172.5 \times 1)}{100} \] \[ = \frac{6557.5 + 4882.5 + 3575 + 502.5 + 172.5}{100} = \frac{15690}{100} = 156.9 \text{ cm} \] - Học sinh nam: - Số lượng: 90 - Chiều cao trung bình: \[ \text{Trung bình} = \frac{(152.5 \times 4) + (157.5 \times 6) + (162.5 \times 21) + (167.5 \times 46) + (172.5 \times 23)}{90} \] \[ = \frac{610 + 945 + 3412.5 + 7705 + 3967.5}{90} = \frac{16640}{90} \approx 184.89 \text{ cm} \] - Kết luận: Đúng, vì trung bình chiều cao của học sinh nam (184.89 cm) cao hơn trung bình chiều cao của học sinh nữ (156.9 cm). Câu d) Dựa trên độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chiều cao của các học sinh nữ ổn định hơn chiều cao của các học sinh nam. - Phân tích: Độ lệch chuẩn đo lường mức độ phân tán của các giá trị so với trung bình. Nếu độ lệch chuẩn của học sinh nữ nhỏ hơn độ lệch chuẩn của học sinh nam, thì chiều cao của học sinh nữ ổn định hơn. - Tính toán: - Học sinh nữ: - Phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{(152.5 - 156.9)^2 \times 43 + (157.5 - 156.9)^2 \times 31 + (162.5 - 156.9)^2 \times 22 + (167.5 - 156.9)^2 \times 3 + (172.5 - 156.9)^2 \times 1}{100} \] \[ = \frac{(-4.4)^2 \times 43 + (0.6)^2 \times 31 + (5.6)^2 \times 22 + (10.6)^2 \times 3 + (15.6)^2 \times 1}{100} \] \[ = \frac{846.08 + 11.16 + 677.12 + 337.08 + 243.36}{100} = \frac{2014.8}{100} = 20.148 \] - Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{20.148} \approx 4.49 \text{ cm} \] - Học sinh nam: - Phương sai: \[ \sigma^2 = \frac{(152.5 - 184.89)^2 \times 4 + (157.5 - 184.89)^2 \times 6 + (162.5 - 184.89)^2 \times 21 + (167.5 - 184.89)^2 \times 46 + (172.5 - 184.89)^2 \times 23}{90} \] \[ = \frac{(-32.39)^2 \times 4 + (-27.39)^2 \times 6 + (-22.39)^2 \times 21 + (-17.39)^2 \times 46 + (-12.39)^2 \times 23}{90} \] \[ = \frac{4192.44 + 4515.84 + 10344.81 + 13444.86 + 3528.87}{90} = \frac{36026.82}{90} \approx 400.298 \] - Độ lệch chuẩn: \[ \sigma = \sqrt{400.298} \approx 20.01 \text{ cm} \] - Kết luận: Đúng, vì độ lệch chuẩn của học sinh nữ (4.49 cm) nhỏ hơn độ lệch chuẩn của học sinh nam (20.01 cm), nên chiều cao của các học sinh nữ ổn định hơn chiều cao của các học sinh nam. Câu 3: a) Đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + x - 1}{x - 1}\right). \] Sử dụng quy tắc thương để tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 1)}{(x - 1)^2}. \] Rút gọn tử số: \[ (2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x - 1) = 2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x + 1 = x^2 - 2x. \] Do đó: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x - 1)^2} = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2}. \] Vậy khẳng định a) đúng. b) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} \) là đường thẳng \( y = ax + b \). Ta có: \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 1}{x(x - 1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 1}{x^2 - x} = 1. \] Tiếp theo, ta tìm \( b \): \[ b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 1 - x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x - 1 - x^2 + x}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x - 1} = 2. \] Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \( y = x - 2 \). Khẳng định b) đúng. c) Giá trị cực đại của hàm số: Để tìm giá trị cực đại, ta xét đạo hàm \( f'(x) = \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} \). Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x(x - 2)}{(x - 1)^2} = 0 \Rightarrow x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2. \] Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 2) \), và \( (2, \infty) \): - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \), \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \( (0, 1) \), \( f'(x) > 0 \). - Trên khoảng \( (1, 2) \), \( f'(x) < 0 \). - Trên khoảng \( (2, \infty) \), \( f'(x) > 0 \). Vậy hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \): \[ f(0) = \frac{0^2 + 0 - 1}{0 - 1} = 1, \] \[ f(2) = \frac{2^2 + 2 - 1}{2 - 1} = 5. \] Vậy giá trị cực đại của hàm số là 5. Khẳng định c) đúng. d) Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-1, 1) \): Xét hàm số trên khoảng \( (-1, 1) \). Do \( x = 1 \) là điểm gián đoạn, ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến 1 từ bên trái: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + x - 1}{x - 1} = -\infty. \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \( (-1, 1) \) là 1. Khẳng định d) đúng. Tóm lại, tất cả các khẳng định đều đúng. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: a) Biểu thị \( y \) theo \( x \) Cho một cửa sổ có dạng hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn. Thanh thép dài 4m được dùng để tạo khung viền cho cửa sổ này. Gọi \( x \) là chiều rộng của hình chữ nhật, và \( y \) là chiều cao của hình chữ nhật. Khung viền của cửa sổ bao gồm: - Hai cạnh chiều rộng của hình chữ nhật: \( 2x \). - Một cạnh chiều cao của hình chữ nhật: \( y \). - Nửa chu vi của hình tròn có đường kính là \( x \): \( \frac{\pi x}{2} \). Tổng chiều dài của khung viền là: \[ 2x + y + \frac{\pi x}{2} = 4 \] Giải phương trình này để biểu thị \( y \) theo \( x \): \[ y = 4 - 2x - \frac{\pi x}{2} \] Đơn giản hóa biểu thức: \[ y = 4 - x\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) \] b) Diện tích của cửa sổ Diện tích của cửa sổ bao gồm diện tích của hình chữ nhật và diện tích của nửa hình tròn. - Diện tích hình chữ nhật: \( A_{\text{rect}} = x \cdot y \). - Diện tích nửa hình tròn: \( A_{\text{semi-circle}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi x^2}{4} = \frac{\pi x^2}{8} \). Tổng diện tích: \[ S(x) = x \cdot y + \frac{\pi x^2}{8} \] Thay \( y = 4 - x\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) \) vào: \[ S(x) = x \left(4 - x\left(2 + \frac{\pi}{2}\right)\right) + \frac{\pi x^2}{8} \] Đơn giản hóa: \[ S(x) = 4x - x^2\left(2 + \frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi x^2}{8} \] Kết hợp các hạng tử: \[ S(x) = 4x - 2x^2 - \frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi x^2}{8} \] Đơn giản hóa tiếp: \[ S(x) = 4x - 2x^2 - \frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi x^2}{8} = 4x - 2x^2 - \frac{\pi x^2}{2} + \frac{\pi x^2}{8} \] c) Diện tích lớn nhất Để tìm giá trị lớn nhất của \( S(x) \), ta cần tìm đạo hàm của \( S(x) \) và giải phương trình \( S'(x) = 0 \). Đạo hàm: \[ S'(x) = 4 - 4x - \frac{\pi x}{2} \] Giải phương trình: \[ 4 - 4x - \frac{\pi x}{2} = 0 \] \[ 4 = x\left(4 + \frac{\pi}{2}\right) \] \[ x = \frac{4}{4 + \frac{\pi}{2}} = \frac{8}{8 + \pi} \] d) Giá trị lớn nhất của diện tích Thay \( x = \frac{8}{8 + \pi} \) vào \( S(x) \) để tìm giá trị lớn nhất của diện tích: \[ S\left(\frac{8}{8 + \pi}\right) = 4\left(\frac{8}{8 + \pi}\right) - 2\left(\frac{8}{8 + \pi}\right)^2 - \frac{\pi}{2}\left(\frac{8}{8 + \pi}\right)^2 \] Tính toán giá trị này sẽ cho ta giá trị lớn nhất của diện tích. Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm các hệ số của hàm số bậc ba \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) dựa vào các điều kiện đã cho. Bước 1: Tìm điều kiện từ các điểm cực trị 1. Điểm cực đại: Tọa độ \((-4, 1)\) là điểm cực đại. 2. Điểm cực tiểu: Tọa độ \((0, 0)\) là điểm cực tiểu. Bước 2: Tính đạo hàm và tìm các điều kiện Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] - Tại điểm cực đại \(x = -4\), ta có \(y'(-4) = 0\). - Tại điểm cực tiểu \(x = 0\), ta có \(y'(0) = 0\). Bước 3: Lập hệ phương trình 1. Điều kiện cực đại tại \((-4, 1)\): - \(y(-4) = 1\): \[ a(-4)^3 + b(-4)^2 + c(-4) + d = 1 \] \[ -64a + 16b - 4c + d = 1 \] - \(y'(-4) = 0\): \[ 3a(-4)^2 + 2b(-4) + c = 0 \] \[ 48a - 8b + c = 0 \] 2. Điều kiện cực tiểu tại \((0, 0)\): - \(y(0) = 0\): \[ d = 0 \] - \(y'(0) = 0\): \[ c = 0 \] Bước 4: Giải hệ phương trình Từ \(d = 0\) và \(c = 0\), ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} -64a + 16b = 1 \\ 48a - 8b = 0 \end{cases} \] Giải hệ phương trình: - Từ phương trình thứ hai: \[ 48a = 8b \Rightarrow b = 6a \] - Thay vào phương trình thứ nhất: \[ -64a + 16(6a) = 1 \] \[ -64a + 96a = 1 \] \[ 32a = 1 \] \[ a = \frac{1}{32} \] - Từ \(b = 6a\): \[ b = 6 \times \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} \] Bước 5: Tính \(\frac{1}{a} + c + d\) - \(\frac{1}{a} = 32\) - \(c = 0\) - \(d = 0\) Vậy: \[ \frac{1}{a} + c + d = 32 + 0 + 0 = 32 \] Kết luận: \(\frac{1}{a} + c + d = 32\).