giải chi tiết bằng toán cao cấp

Bạn có hai hệ phương trình tuyến tính (HPT) cần tìm giá trị m để hệ có nghiệm. Mình sẽ giải chi tiết từng hệ. --- **Hệ 1:** \[ \begin{cases} 1x + 1y + 1z = 1 \\ 2x + 3y + 1z = 4 \\ 3x + 4y + mz = m+1 \end{cases} \] --- **Hệ 2:** \[ \begin{cases} mx + 1y + 1z = 1 \\ 1x + my + 1z = m \\ 1x + 1y + mz = m^2 \end{cases} \] --- ### Giải hệ 1: Viết ma trận hệ số A và ma trận mở rộng (A|B): \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & m \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ m+1 \end{bmatrix} \] Để hệ có nghiệm, cần: - Dạng ma trận hệ số A phải bằng dạng ma trận mở rộng (A|B). - Nếu \(\det(A) \neq 0\), hệ có nghiệm duy nhất. - Nếu \(\det(A) = 0\), cần kiểm tra tính tương thích của hệ. Tính định thức \(\det(A)\): \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & m \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & m \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \] Tính từng phần: \[ = 1 \cdot (3 \cdot m - 4 \cdot 1) - 1 \cdot (2 \cdot m - 3 \cdot 1) + 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) \] \[ = 1 \cdot (3m - 4) - 1 \cdot (2m - 3) + 1 \cdot (8 - 9) \] \[ = 3m - 4 - 2m + 3 + (-1) = (3m - 2m) + (-4 + 3 -1) = m - 2 \] Vậy: \[ \det(A) = m - 2 \] - Nếu \(m \neq 2\), \(\det(A) \neq 0\), hệ có nghiệm duy nhất với mọi m khác 2. - Nếu \(m = 2\), \(\det(A) = 0\), cần kiểm tra tính tương thích. Kiểm tra khi \(m=2\): Ma trận A và B lúc này là: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} \] Ta xét hạng của A và hạng của ma trận mở rộng (A|B). - Hạng A: Tính hạng bằng cách biến đổi sơ cấp. Ta có thể kiểm tra bằng cách lấy các định thức con cấp 2: Ví dụ, định thức con cấp 2 lấy 2 hàng đầu và 2 cột đầu: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 3 - 2 = 1 \neq 0 \] Vậy hạng A \(\geq 2\). Kiểm tra hạng A có phải 3 không: \[ \det(A) = 0 \quad \Rightarrow \quad hạng A < 3 \] Vậy hạng A = 2. Kiểm tra hạng (A|B): \[ (A|B) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 3 \end{bmatrix} \] Tính định thức con 3x3 của ma trận mở rộng (bỏ cột cuối): Đã biết \(\det(A) = 0\). Kiểm tra xem hạng (A|B) có bằng hạng A không. Lấy 3 hàng, 3 cột đầu tiên là A, hạng A = 2. Lấy 3 hàng, 3 cột cuối cùng (cột 2,3,4): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} \] Tính định thức này: \[ = 1 \cdot (1 \cdot 3 - 4 \cdot 2) - 1 \cdot (3 \cdot 3 - 4 \cdot 4) + 1 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot 4) \] \[ = 1 \cdot (3 - 8) - 1 \cdot (9 - 16) + 1 \cdot (6 - 4) = 1 \cdot (-5) - 1 \cdot (-7) + 1 \cdot 2 = -5 + 7 + 2 = 4 \neq 0 \] Vậy hạng (A|B) = 3. Do hạng (A|B) > hạng A, hệ vô nghiệm khi \(m=2\). --- **Kết luận hệ 1:** - Hệ có nghiệm duy nhất khi \(m \neq 2\). - Hệ vô nghiệm khi \(m = 2\). --- ### Giải hệ 2: \[ \begin{cases} m x + y + z = 1 \\ x + m y + z = m \\ x + y + m z = m^2 \end{cases} \] Ma trận hệ số: \[ A = \begin{bmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ m \\ m^2 \end{bmatrix} \] Tính \(\det(A)\): \[ \det(A) = m \begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \] Tính từng phần: \[ = m (m \cdot m - 1 \cdot 1) - 1 (1 \cdot m - 1 \cdot 1) + 1 (1 \cdot 1 - m \cdot 1) \] \[ = m (m^2 - 1) - (m - 1) + (1 - m) \] \[ = m^3 - m - m + 1 + 1 - m = m^3 - 3m + 2 \] Ta có: \[ \det(A) = m^3 - 3m + 2 \] Giải phương trình \(\det(A) = 0\): \[ m^3 - 3m + 2 = 0 \] Thử nghiệm các nghiệm nguyên: - \(m=1\): \(1 - 3 + 2 = 0\) đúng. - \(m=2\): \(8 - 6 + 2 = 4 \neq 0\) - \(m=-1\): \(-1 + 3 + 2 = 4 \neq 0\) Phân tích đa thức: \[ m^3 - 3m + 2 = (m - 1)(m^2 + m - 2) \] Giải \(m^2 + m - 2 = 0\): \[ m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] \[ m = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = -2 \] Vậy nghiệm của \(\det(A) = 0\) là \(m = 1\) hoặc \(m = -2\). --- - Nếu \(m \neq 1, -2\), \(\det(A) \neq 0\), hệ có nghiệm duy nhất. - Nếu \(m = 1\) hoặc \(m = -2\), \(\det(A) = 0\), cần kiểm tra tính tương thích. --- **Kiểm tra \(m=1\):** \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \] Hạng A: Tất cả các hàng giống nhau, nên hạng A = 1. Hạng (A|B): Ma trận mở rộng: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \] Hạng (A|B) = 1 (vì cột cuối cũng giống các cột khác). Vậy hạng A = hạng (A|B) = 1 < 3, hệ có vô số nghiệm. --- **Kiểm tra \(m = -2\):** \[ A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \] Tính hạng A: Tính định thức con cấp 2: \[ \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-2)(-2) - 1 \cdot 1 = 4 - 1 = 3 \neq 0 \] Vậy hạng A \(\geq 2\). Tính hạng (A|B): \[ \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} \] Kiểm tra xem hạng (A|B) có bằng hạng A không. Tính định thức con 3x3 của A là 0 (đã biết). Kiểm tra định thức con 3x3 của ma trận mở rộng (bỏ cột 1): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} \] Tính: \[ = 1 \cdot (1 \cdot 4 - (-2) \cdot (-2)) - 1 \cdot (-2 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) + 1 \cdot (-2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot (4 - 4) - 1 \cdot (-8 + 2) + 1 \cdot (4 - 1) = 0 - 1 \cdot (-6) + 3 = 0 + 6 + 3 = 9 \neq 0 \] Vậy hạng (A|B) = 3 > hạng A = 2, hệ vô nghiệm khi \(m = -2\). --- **Kết luận hệ 2:** - Hệ có nghiệm duy nhất khi \(m \neq 1, -2\). - Hệ có vô số nghiệm khi \(m = 1\). - Hệ vô nghiệm khi \(m = -2\). --- Bạn cần mình giải tiếp hoặc giải hệ cụ thể với giá trị m nào không?