Giúp mình với! $d)~\frac6{2-\sqrt{10}}+\frac{5\sqrt2-2\sqrt5}{\sqrt5-\sqrt2}$ e

Question

yousimmy-chan_love · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) cho các phân thức.
2. Rút gọn từng phân thức.
3. Kết hợp các phân thức đã rút gọn để tìm kết quả cuối cùng.

Bắt đầu:

a) Điều kiện xác định:
- Đối với phân thức $\frac{6}{2-\sqrt{10}}$, điều kiện xác định là $2 - \sqrt{10} \neq 0$. Vì $\sqrt{10}$ là một số dương nên $2 - \sqrt{10} \neq 0$ luôn đúng.
- Đối với phân thức $\frac{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$, điều kiện xác định là $\sqrt{5} - \sqrt{2} \neq 0$. Vì $\sqrt{5}$ và $\sqrt{2}$ là các số dương khác nhau nên $\sqrt{5} - \sqrt{2} \neq 0$ luôn đúng.

b) Rút gọn từng phân thức:
- Đối với phân thức $\frac{6}{2-\sqrt{10}}$, nhân tử và mẫu số với $2 + \sqrt{10}$ để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu số:
  $$
  \frac{6}{2-\sqrt{10}} \cdot \frac{2+\sqrt{10}}{2+\sqrt{10}} = \frac{6(2+\sqrt{10})}{(2-\sqrt{10})(2+\sqrt{10})} = \frac{6(2+\sqrt{10})}{4-10} = \frac{6(2+\sqrt{10})}{-6} = -(2+\sqrt{10})
  $$

- Đối với phân thức $\frac{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$, nhân tử và mẫu số với $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu số:
  $$
  \frac{5\sqrt{2} - 2\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{(5\sqrt{2} - 2\sqrt{5})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{5\sqrt{10} + 5\sqrt{2} - 2\sqrt{10} - 2\sqrt{2}}{5-2} = \frac{3\sqrt{10} + 3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{10} + \sqrt{2}
  $$

c) Kết hợp các phân thức đã rút gọn:
$$
-(2+\sqrt{10}) + (\sqrt{10} + \sqrt{2}) = -2 - \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{2} = -2 + \sqrt{2}
$$

Vậy kết quả cuối cùng là:
$$
-2 + \sqrt{2}
$$