Giúp đỡ em

Để so sánh hai biểu thức \( A = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} \) và \( B = \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2 + 1} \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức \( A \): - Ta có \( \sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}| \). - Vì \( \sqrt{2} \approx 1.414 \) và \( 1 - \sqrt{2} < 0 \), nên \( |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1 \). - Do đó, \( A = 1 + \sqrt{2} + (\sqrt{2} - 1) = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} - 1 = 2\sqrt{2} \). 2. Rút gọn biểu thức \( B \): - Ta có \( (1 - 2\sqrt{2})^2 = 1 - 4\sqrt{2} + 8 = 9 - 4\sqrt{2} \). - Do đó, \( B = \sqrt{(1 - 2\sqrt{2})^2 + 1} = \sqrt{9 - 4\sqrt{2} + 1} = \sqrt{10 - 4\sqrt{2}} \). 3. So sánh \( A \) và \( B \): - Ta đã rút gọn \( A = 2\sqrt{2} \). - Ta cần so sánh \( 2\sqrt{2} \) và \( \sqrt{10 - 4\sqrt{2}} \). 4. Kiểm tra giá trị của \( \sqrt{10 - 4\sqrt{2}} \): - Ta có \( 10 - 4\sqrt{2} \approx 10 - 4 \times 1.414 = 10 - 5.656 = 4.344 \). - Do đó, \( \sqrt{10 - 4\sqrt{2}} \approx \sqrt{4.344} \approx 2.085 \). 5. Kết luận: - Ta thấy \( 2\sqrt{2} \approx 2.828 \) và \( \sqrt{10 - 4\sqrt{2}} \approx 2.085 \). - Vì \( 2.828 > 2.085 \), nên \( A > B \). Do đó, \( A \neq B \). Đáp án: \( A > B \). Câu 14: Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các kiến thức về tam giác và lượng giác. Bước 1: Xác định các góc trong tam giác - Ta có góc $\widehat{BAC} = 35^\circ$ và góc $\widehat{BCA} = 20^\circ$. - Số đo của góc $\widehat{ABC}$ có thể tính bằng cách sử dụng tổng các góc trong tam giác: \[ \widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{BCA} = 180^\circ - 35^\circ - 20^\circ = 125^\circ \] Bước 2: Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC - Định lý sin: \(\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}} = \frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\) - Ta cần tìm chiều cao của tòa nhà $AB$. Sử dụng định lý sin: \[ \frac{AB}{\sin 20^\circ} = \frac{160}{\sin 125^\circ} \] - Tính $AB$: \[ AB = \frac{160 \times \sin 20^\circ}{\sin 125^\circ} \] - Sử dụng máy tính để tính toán: \[ AB \approx \frac{160 \times 0.3420}{0.8192} \approx 69.2 \text{ m} \] Bước 3: Kết luận - Chiều cao của tòa nhà là $69.2$ m. - Các góc đã được xác định: $\widehat{ABC} = 125^\circ$, $\widehat{BCA} = 20^\circ$. - Chiều cao của ngọn núi $CD = 110$ m đã cho. Vậy, chiều cao của tòa nhà là $69.2$ m. Câu 15: Giải: Gọi x là số áo sơ mi doanh nghiệp bán được trong một tháng (điều kiện: x > 0) Doanh thu của doanh nghiệp trong một tháng là: 350000.x (đồng) Lợi nhuận của doanh nghiệp trong một tháng là: 350000.x - 410000000 (đồng) Lợi nhuận của doanh nghiệp trong một năm là: 12.(350000.x - 410000000) (đồng) Theo đề bài ta có: 12.(350000.x - 410000000) ≥ 1380000000 4200000.x - 4920000000 ≥ 1380000000 4200000.x ≥ 6300000000 x ≥ 1500 Vậy trung bình mỗi tháng doanh nghiệp phải bán ít nhất 1500 chiếc áo sơ mi để thu được lợi nhuận ít nhất là 1,38 tỉ đồng mỗi năm. Câu 16: Để tính chiều cao của ngọn núi, ta sử dụng các góc nâng từ hai điểm A và B. Gọi \( D \) là đỉnh núi và \( C \) là chân núi trên mặt đất. Ta cần tính chiều cao \( DC \). 1. Tính \( BC \): Sử dụng tam giác vuông \( BDC \), ta có: \[ \tan 38^\circ = \frac{DC}{BC} \] \[ BC = \frac{DC}{\tan 38^\circ} \] 2. Tính \( AC \): Sử dụng tam giác vuông \( ADC \), ta có: \[ \tan 34^\circ = \frac{DC}{AC} \] \[ AC = \frac{DC}{\tan 34^\circ} \] 3. Liên hệ giữa \( AC \) và \( BC \): Vì \( AB = 500 \) m, ta có: \[ AC = AB + BC = 500 + BC \] 4. Thiết lập phương trình: Thay \( AC \) và \( BC \) từ các phương trình trên vào: \[ \frac{DC}{\tan 34^\circ} = 500 + \frac{DC}{\tan 38^\circ} \] 5. Giải phương trình: Giải phương trình trên để tìm \( DC \): \[ \frac{DC}{\tan 34^\circ} - \frac{DC}{\tan 38^\circ} = 500 \] \[ DC \left( \frac{1}{\tan 34^\circ} - \frac{1}{\tan 38^\circ} \right) = 500 \] \[ DC = \frac{500}{\frac{1}{\tan 34^\circ} - \frac{1}{\tan 38^\circ}} \] 6. Tính toán: Sử dụng máy tính để tính giá trị: \[ \tan 34^\circ \approx 0.6745, \quad \tan 38^\circ \approx 0.7813 \] \[ DC = \frac{500}{\frac{1}{0.6745} - \frac{1}{0.7813}} \] \[ DC \approx \frac{500}{1.4826 - 1.2803} \approx \frac{500}{0.2023} \approx 2471.5 \] Vậy chiều cao của ngọn núi là khoảng 2472 m. Câu 17: Để tính số đo \(\widehat{AOB}\), ta sử dụng tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm trong đường tròn. 1. \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\). 2. \(\widehat{AOB}\) là góc ở tâm chắn cung \(AB\). Theo tính chất của góc nội tiếp và góc ở tâm, ta có: \[ \widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB} \] 3. Thay số vào, ta có: \[ \widehat{AOB} = 2 \times 60^\circ = 120^\circ \] Vậy số đo \(\widehat{AOB}\) là \(120^\circ\). Câu 18: Để tính độ dài đường cao \( AD \) trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định độ dài \( BC \): Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), ta có: \[ \sin B = \frac{\text{đối}}{\text{huyền}} = \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó, ta có: \[ AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times BC \] 2. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông \( \Delta ABC \), đường cao \( AD \) chia cạnh huyền \( BC \) thành hai đoạn \( BD \) và \( DC \). Theo giả thiết, \( CD = 6 \, \text{cm} \). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \[ AD^2 = BD \times DC \] Mà \( BD = BC - CD = BC - 6 \). 3. Tính \( BC \): Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \[ BC = \frac{AC}{\sin B} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \times BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = BC \] Do đó, ta cần tìm \( BC \) từ phương trình: \[ AD^2 = (BC - 6) \times 6 \] 4. Tính độ dài \( AD \): Từ hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \[ AD = \frac{AC \times BC}{AB} \] Sử dụng công thức: \[ AD = \sqrt{BD \times DC} = \sqrt{(BC - 6) \times 6} \] Thay \( BC = 12 \) (vì \( \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \) và \( AC = \frac{\sqrt{3}}{2} \times BC \)), ta có: \[ AD = \sqrt{(12 - 6) \times 6} = \sqrt{6 \times 6} = \sqrt{36} = 6 \] Vậy độ dài đường cao \( AD \) là \( 6 \, \text{cm} \). Kết quả: Độ dài đường cao \( AD \) là \( 6 \, \text{cm} \). Câu 19: a) Ta có: \[ 9\sqrt{\frac{121}{9}} - \frac{3}{2}\sqrt{\frac{196}{9}} - 27 \] Đầu tiên, ta tính các căn bậc hai: \[ \sqrt{\frac{121}{9}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{9}} = \frac{11}{3} \] \[ \sqrt{\frac{196}{9}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{9}} = \frac{14}{3} \] Thay vào biểu thức: \[ 9 \cdot \frac{11}{3} - \frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3} - 27 \] Tính tiếp: \[ 9 \cdot \frac{11}{3} = 3 \cdot 11 = 33 \] \[ \frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3} = \frac{14}{2} = 7 \] Vậy biểu thức trở thành: \[ 33 - 7 - 27 = 33 - 34 = -1 \] Do đó, giá trị của biểu thức là: \[ -1 \] b) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 6 \\ 2(x + 1) - 5y = 24 - 2(x - y) \end{array} \right. \] Đầu tiên, ta viết lại phương trình thứ hai: \[ 2(x + 1) - 5y = 24 - 2(x - y) \] \[ 2x + 2 - 5y = 24 - 2x + 2y \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 2x + 2 - 5y - 24 + 2x - 2y = 0 \] \[ 4x - 7y - 22 = 0 \] \[ 4x - 7y = 22 \] Bây giờ ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = 6 \\ 4x - 7y = 22 \end{array} \right. \] Nhân phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng trừ: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x - 2y = 12 \\ 4x - 7y = 22 \end{array} \right. \] Trừ hai phương trình này: \[ (4x - 2y) - (4x - 7y) = 12 - 22 \] \[ 4x - 2y - 4x + 7y = -10 \] \[ 5y = -10 \] \[ y = -2 \] Thay \( y = -2 \) vào phương trình đầu tiên: \[ 2x - (-2) = 6 \] \[ 2x + 2 = 6 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (2, -2) \). Tính \( x^2 + y^2 \): \[ x^2 + y^2 = 2^2 + (-2)^2 = 4 + 4 = 8 \] Do đó, giá trị của \( x^2 + y^2 \) là: \[ 8 \] Câu 20: Gọi số học sinh khối 7 là x (em, điều kiện: x > 0). Gọi số học sinh khối 9 là y (em, điều kiện: y > 0). Theo đề bài, ta có: Tỉ lệ học sinh xếp loại học lực đạt trở lên ở khối 7 là 90%, tức là số học sinh xếp loại học lực đạt trở lên ở khối 7 là 0,9x (em). Tỉ lệ học sinh xếp loại học lực đạt trở lên ở khối 9 là 84%, tức là số học sinh xếp loại học lực đạt trở lên ở khối 9 là 0,84y (em). Tổng số học sinh xếp loại học lực đạt trở lên là 864 em, chiếm tỉ lệ 86,4% số học sinh cả khối 7 và khối 9, tức là: 0,9x + 0,84y = 864 Cũng theo đề bài, ta có: Số học sinh cả khối 7 và khối 9 là x + y (em). Tỉ lệ học sinh xếp loại học lực đạt trở lên là 86,4%, tức là: (0,9x + 0,84y) / (x + y) = 0,864 Ta có hệ phương trình: 0,9x + 0,84y = 864 (0,9x + 0,84y) / (x + y) = 0,864 Giải hệ phương trình này, ta được: x = 400 y = 600 Vậy số học sinh khối 7 là 400 em và số học sinh khối 9 là 600 em. Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính độ dài dây AB: - Ta có tam giác OIA vuông tại I, với OI = 6 cm và OA = 10 cm (bán kính của đường tròn). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông OIA, ta có: \[ OA^2 = OI^2 + IA^2 \] Thay số vào, ta có: \[ 10^2 = 6^2 + IA^2 \] \[ 100 = 36 + IA^2 \] \[ IA^2 = 64 \] \[ IA = 8 \text{ cm} \] - Vì I là trung điểm của dây AB (do Ox vuông góc với AB tại I), nên: \[ AB = 2 \times IA = 2 \times 8 = 16 \text{ cm} \] Vậy độ dài dây AB là 16 cm. b) Giải thích vì sao MB là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Ta đã biết M nằm trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O), do đó MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. - Theo tính chất của tiếp tuyến, MA vuông góc với OA. - Ta cần chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. Để làm điều này, ta cần chứng minh MB vuông góc với OB. - Xét tam giác OMA, ta có: \[ \angle OMA = 90^\circ \quad (\text{do MA là tiếp tuyến tại A}) \] - Vì Ox vuông góc với AB tại I và M nằm trên Ox, nên MI là đường cao của tam giác MAB. - Do đó, tam giác MAB vuông tại I, và MB là cạnh huyền của tam giác vuông MAB. - Vì MA là tiếp tuyến tại A và MB là cạnh huyền của tam giác vuông MAB, nên MB cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. Vậy MB là tiếp tuyến của đường tròn (O).