Giúp mình với! câu c) thôi

GIẢI CHI TIẾT BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Câu 17: Cho đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ ngoài đường tròn.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $MA$

Giả thiết: $R = 4 \text{ cm}$, $OM = 8 \text{ cm}$. $MA$ là tiếp tuyến.

Vì $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ nên $MA \perp OA$. Do đó, tam giác $OAM$ vuông tại $A$.

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông $OAM$:

$MA^2 + OA^2 = OM^2$

$MA^2 + 4^2 = 8^2$

$MA^2 = 64 - 16 = 48$

$MA = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ (cm)}$

b) Chứng minh $MB$ là tiếp tuyến của $(O)$

Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$. Theo giả thiết $AB \perp OM$.

Trong đường tròn $(O)$, vì $OM \perp AB$ tại $H$ nên $H$ là trung điểm của dây $AB$ (định lý đường kính vuông góc với dây cung).

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = R$ nên tam giác $OAB$ cân tại $O$. Khi đó $OH$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác, suy ra $\widehat{AOH} = \widehat{BOH}$.

Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$:

$OA = OB = R$

$\widehat{AOM} = \widehat{BOM}$ (chứng minh trên)

$OM$ là cạnh chung

$\Rightarrow \triangle OAM = \triangle OBM$ (cạnh - góc - cạnh).

$\Rightarrow \widehat{OBM} = \widehat{OAM}$.

Mà $\widehat{OAM} = 90^\circ$ (do $MA$ là tiếp tuyến), nên $\widehat{OBM} = 90^\circ$.

$\Rightarrow MB \perp OB$ tại $B$. Vậy $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

c) Tính diện tích phần tam giác $AMB$ nằm bên ngoài đường tròn $(O)$

Giả thiết: $\widehat{MAB} = 60^\circ$.

Phân tích góc:

Vì $MA, MB$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau nên $MA = MB$, suy ra $\triangle AMB$ cân tại $M$.

$\triangle AMB$ cân có $\widehat{MAB} = 60^\circ$ nên $\triangle AMB$ là tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat{AMB} = 60^\circ$. Do $MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$ nên $\widehat{AMO} = 30^\circ$.

Trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$: $OA = OM \cdot \sin(30^\circ) \Rightarrow R = OM \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow OM = 2R$.

$MA = OA \cdot \cot(30^\circ) = R\sqrt{3}$.

Tính diện tích tam giác $AMB$:

Diện tích tam giác đều cạnh $a = R\sqrt{3}$:

$S_{\triangle AMB} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$

Tính diện tích hình quạt tròn $OAB$ chắn bởi cung nhỏ $AB$:

Trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$, $\widehat{AOM} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Do tính đối xứng, $\widehat{AOB} = 2 \cdot \widehat{AOM} = 120^\circ$.

Diện tích hình quạt $OAB$: $S_{quat} = \frac{\pi R^2 \cdot 120}{360} = \frac{\pi R^2}{3}$.

Diện tích tam giác $OAB$: $S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} R^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$.

Diện tích hình viên phân (phần giới hạn bởi dây $AB$ và cung nhỏ $AB$):

$S_{vp} = S_{quat} - S_{\triangle OAB} = \frac{\pi R^2}{3} - \frac{R^2\sqrt{3}}{4}$

Tính diện tích phần tam giác $AMB$ nằm ngoài đường tròn:

Gọi diện tích cần tìm là $S$. Ta thấy phần tam giác $AMB$ nằm trong đường tròn chính là hình viên phân vừa tính (do $M$ nằm ngoài).

$S = S_{\triangle AMB} - S_{vp}$

$S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} - \left( \frac{\pi R^2}{3} - \frac{R^2\sqrt{3}}{4} \right)$

$S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} + \frac{R^2\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi R^2}{3} = R^2\sqrt{3} - \frac{\pi R^2}{3}$

Kết quả: $S = R^2 \left( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \right)$.