Sử dụng 5 chữ cái a và 10 chữ cái b để tạo thành chuỗi gồm có 15 kí tự. Hỏi có bao nhiêu chuỗi được tạo ra và thỏa mãn các điều kiện sau
-Các chữ cái a không được đứng cạnh nhau
-Nếu chữ cái đầu tiên là a thì chữ cái cuối cùng phải là b

Question

Võ Thùy Linh · Accepted Answer

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích các điều kiện và sau đó tìm ra số lượng chuỗi hợp lệ.

### Bước 1: Đặt điều kiện cho chuỗi
- Tổng số chữ cái trong chuỗi là 15 ký tự, trong đó có 5 chữ cái a và 10 chữ cái b.
- Các chữ cái a không được đứng cạnh nhau.
- Nếu chữ cái đầu tiên là a, thì chữ cái cuối cùng phải là b.

### Bước 2: Xác định vị trí của các chữ cái
Để đảm bảo các chữ cái a không đứng cạnh nhau, ta có thể đặt các chữ cái b trước. Có 10 chữ cái b, khi chúng được sắp xếp, chúng sẽ tạo ra 11 vị trí cho các chữ cái a (trước, giữa và sau các chữ cái b):

```
_ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _
```

Có 11 vị trí (_) cho 5 chữ cái a. Để đảm bảo các chữ cái a không đứng cạnh nhau, chúng ta chỉ cần chọn 5 trong số 11 vị trí này để đặt chữ cái a.

### Bước 3: Tính số cách chọn vị trí
Số cách chọn 5 vị trí từ 11 vị trí là:

$$
C(11, 5) = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462
$$

### Bước 4: Xét điều kiện thêm
Bây giờ, ta sẽ xem xét điều kiện thứ hai: nếu chữ cái đầu tiên là a, chữ cái cuối cùng phải là b.

- Nếu chữ cái đầu tiên là a, chúng ta sẽ có dạng: 
```
a _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ 
```
Điều này buộc chúng ta phải đặt chữ cái b ở cuối.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, chữ cái a đã được xác định ở đầu, và ta cần chọn 4 chữ cái a còn lại từ 10 chữ cái b và 9 vị trí còn lại (bắt đầu từ vị trí thứ 2).

Vì vậy, chúng ta có 10 chữ cái b và 9 vị trí để đặt 4 chữ cái a còn lại.

### Bước 5: Tính lại số cách chọn
Số cách chọn 4 vị trí từ 9 vị trí là:

$$
C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126
$$

### Bước 6: Tổng hợp số chuỗi
Vậy tổng số chuỗi thỏa mãn điều kiện là 462 (từ bước 3) cộng với 126 (từ bước 5):

Tổng số chuỗi = 462 + 126 = 588

### Kết luận
Số chuỗi được tạo ra thỏa mãn các điều kiện là **588**.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5292649,"userName":"Khanh"}

Bước 1: Xếp các chữ cái $b$ làm vách ngăn

Xếp $10$ chữ cái $b$ thành một hàng ngang. Khi đó, giữa các chữ cái $b$ và hai đầu sẽ tạo ra 11 vị trí trống để đặt các chữ cái $a$:

_ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _ b _

Bước 2: Xét các trường hợp thỏa mãn điều kiện

Chúng ta sẽ tính tổng số cách xếp $a$ sao cho không cạnh nhau, sau đó loại trừ trường hợp vi phạm điều kiện 2.

Trường hợp 1: Tổng số cách xếp $a$ không đứng cạnh nhau

Để $5$ chữ $a$ không đứng cạnh nhau, ta chọn $5$ vị trí từ $11$ vị trí trống nêu trên.

• Số cách chọn là: $C_{11}^5 = 462$ cách.

Trường hợp 2: Các cách vi phạm điều kiện 2

Điều kiện 2 nói: "Nếu đầu là $a$ thì cuối phải là $b$". Điều này có nghĩa là trường hợp "Đầu là $a$ VÀ cuối là $a$" là trường hợp duy nhất bị cấm.

• Nếu chữ cái đầu tiên là $a$ và chữ cái cuối cùng là $a$, ta đã cố định $2$ chữ $a$ vào $2$ vị trí trống ở hai đầu.

• Còn lại $3$ chữ $a$ cần xếp vào $9$ vị trí trống còn lại ở giữa.

• Số cách chọn là: $C_9^3 = 84$ cách.

Bước 3: Kết quả cuối cùng

Số chuỗi thỏa mãn cả hai điều kiện là:

$462-84=378$

Đáp số: Có 378 chuỗi thỏa mãn yêu cầu.

Sử dụng 5 chữ cái a và 10 chữ cái b để tạo thành chuỗi gồm có 15 kí tự. Hỏi có bao nhiêu chuỗi được tạo ra và thỏa mãn các điều kiện sau -Các chữ cái a không được đứng cạnh nhau -Nếu chữ cái đầu tiên l...