« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $11$ Giải phương trình

Giải phương trình:

$x + \sqrt{x^2 + 4} = 2^{x+1}$

Nhận xét:

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta luôn có:

$\sqrt{x^2 + 4} > \sqrt{x^2} = |x| \ge -x$

$\Rightarrow x + \sqrt{x^2 + 4} > 0$

Do đó, cả hai vế của phương trình đều luôn dương.

Nhẩm nghiệm:

Vế trái: $0 + \sqrt{0^2 + 4} = 2$

Vế phải: $2^{0+1} = 2$

Ta thấy $x = 0$ là một nghiệm của phương trình.

Chứng minh nghiệm duy nhất bằng phương pháp hàm số:

Chia cả hai vế của phương trình cho 2, ta được:

$\frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2} = 2^x$

Xét hàm số $f(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 + 4}}{2}$

Đạo hàm:

$f'(x) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \right) = \frac{\sqrt{x^2 + 4} + x}{2\sqrt{x^2 + 4}}$

Vì $\sqrt{x^2 + 4} > |x| \ge -x \Rightarrow \sqrt{x^2 + 4} + x > 0$

Do đó $f'(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f(x)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Xét hàm số $g(x) = 2^x$

Đạo hàm:

$g'(x) = 2^x \cdot \ln 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow g(x)$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Vì cả hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ đều đồng biến, ta chưa thể kết luận ngay về số nghiệm. Ta biến đổi phương trình về dạng khác:

$x + \sqrt{x^2 + 4} = 2^{x+1}$

Nhân liên hợp vế trái với $(\sqrt{x^2 + 4} - x \neq 0)$:

$\frac{( \sqrt{x^2 + 4} + x ) ( \sqrt{x^2 + 4} - x )}{\sqrt{x^2 + 4} - x} = 2^{x+1}$

$\frac{(x^2 + 4) - x^2}{\sqrt{x^2 + 4} - x} = 2^{x+1}$

$\frac{4}{\sqrt{x^2 + 4} - x} = 2^{x+1}$

$\sqrt{x^2 + 4} - x = \frac{4}{2^{x+1}}$

$\sqrt{x^2 + 4} - x = 2^{1-x}$

Từ phương trình gốc và phương trình mới, ta trừ vế theo vế:

$(x + \sqrt{x^2 + 4}) - (\sqrt{x^2 + 4} - x) = 2^{x+1} - 2^{1-x}$

$2x = 2^{x+1} - 2^{1-x}$

$2x - 2^{x+1} + 2^{1-x} = 0$

Xét hàm số $h(x) = 2x - 2^{x+1} + 2^{1-x}$

Đạo hàm bậc một:

$h'(x) = 2 - 2^{x+1} \cdot \ln 2 - 2^{1-x} \cdot \ln 2$

$h'(x) = 2 - \ln 2 \cdot (2^{x+1} + 2^{1-x})$

Đạo hàm bậc hai:

$h''(x) = -2^{x+1} \cdot (\ln 2)^2 + 2^{1-x} \cdot (\ln 2)^2$

$h''(x) = (\ln 2)^2 \cdot (2^{1-x} - 2^{x+1})$

Cho $h''(x) = 0$:

$2^{1-x} = 2^{x+1}$

$1 - x = x + 1$

$2x = 0$

$x = 0$

Bảng biến thiên xét dấu cho thấy $h'(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 0$:

$h'(0) = 2 - \ln 2 \cdot (2^1 + 2^1) = 2 - 4\ln 2 \approx -0,77 < 0$

Vì giá trị lớn nhất của $h'(x)$ nhỏ hơn 0 nên $h'(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó, hàm số $h(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mà $h(0) = 2(0) - 2^{1} + 2^{1} = 0$

Nên phương trình $h(x) = 0$ có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:

$x = 0$