Giải chi tiết câu này Đổ nước vào một chiếc thùng hình trụ có bán kính đáy là 20 cm. Nghiêng thùng cho,mặt nước chạm vào miệng cốc và đáy cốc (như hình vẽ) thì mặt nước tạo với đáy cốc,một góc $30^0.$ Tính thể tích của chiếc thùng?,

Question

Dương Nhiên · Accepted Answer

{"userId":5216916,"userName":"Huycindy"}

Gọi $h$ là chiều cao và $r$ là bán kính đáy của thùng hình trụ.

Theo đề bài, ta có bán kính đáy $r = 20 \text{ cm}$, suy ra đường kính đáy là $d = 2r = 40 \text{ cm}$.

Xét thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật $ABCD$, trong đó:

$-$$AB$ là một đường sinh của hình trụ (chiều cao $h$).

$-$$BC$ là đường kính của đường tròn đáy ($BC = 40 \text{ cm}$).

Khi nghiêng thùng để mặt nước chạm vào miệng cốc (tại điểm $A$) và đáy cốc (tại điểm $C$), mặt phẳng mặt nước chính là mặt phẳng chứa đường thẳng $AC$.

Vì $AB \perp (đáy)$ nên góc giữa mặt nước và đáy cốc chính là góc giữa đường thẳng $AC$ và đường thẳng $BC$.

Theo giả thiết, góc này bằng $30^{\circ }$, hay $\widehat{ACB} = 30^\circ$.

Trong tam giác vuông $ABC$ tại $B$, ta có:

$h=AB=BC\cdot \tan (\widehat{ACB})$

$h=40\cdot \tan (30^{\circ })=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\text{ (cm)}$

Thể tích của chiếc thùng hình trụ là:

$V=\pi \cdot r^{2}\cdot h$$V=\pi \cdot (20)^{2}\cdot \frac{40\sqrt{3}}{3}$

$V=400\cdot \frac{40\sqrt{3}}{3}\pi =\frac{16000\sqrt{3}}{3}\pi \approx 29017,4\text{(cm}^{3}\text{)}$

Đáp số: $V = \frac{16000\sqrt{3}}{3} \pi \text{ cm}^3$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần hình dung về thùng hình trụ và cốc, cũng như cách mà nước chạm vào miệng cốc và đáy cốc tạo thành một góc $30^\circ$.

1. **Xác định thông số thùng và cốc**:
   - Bán kính đáy thùng hình trụ là $ R = 20 \, \text{cm} $.
   - Khi thùng nghiêng, mặt nước tạo với đáy cốc một góc $ 30^\circ $.

2. **Tính chiều cao của nước**:
   Khi thùng nghiêng, mặt nước sẽ tạo thành một tam giác vuông với đáy cốc. Gọi $ h $ là chiều cao của mặt nước khi thùng nghiêng.

Theo hình vẽ, ta có thể sử dụng lượng giác để tính toán:
   - Trong tam giác vuông có góc $ 30^\circ $:
     $$
     \tan(30^\circ) = \frac{h}{d}
     $$
   - Ở đây $ d $ là chiều dài đáy cốc (hay khoảng cách từ đáy cốc đến mặt nước theo phương ngang). Ta có:
     $$
     \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies h = d \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}
     $$

3. **Tính chiều dài d**:
   - Vì mặt nước chạm vào miệng cốc và đáy cốc nên $ d $ cũng chính là bán kính đáy của thùng, tức là $ d = R = 20 \, \text{cm} $.
   - Vậy ta có:
     $$
     h = 20 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 20 \cdot 0.577 \approx 11.54 \, \text{cm}
     $$

4. **Tính thể tích của thùng**:
   Thể tích $ V $ của thùng hình trụ được tính bằng công thức:
   $$
   V = \pi R^2 h
   $$
   Thay giá trị $ R $ và $ h $ vào công thức:
   $$
   V = \pi \cdot (20)^2 \cdot 11.54
   $$
   $$
   V = \pi \cdot 400 \cdot 11.54 \approx 4621.4 \, \text{cm}^3
   $$
   Sử dụng giá trị gần đúng của $ \pi $ là $ 3.14 $:
   $$
   V \approx 3.14 \cdot 400 \cdot 11.54 \approx 14451.6 \, \text{cm}^3
   $$

5. **Kết luận**:
   Thể tích của chiếc thùng hình trụ là khoảng $ 14451.6 \, \text{cm}^3 $.

Vậy, thể tích của chiếc thùng là:
$$
\boxed{14451.6 \, \text{cm}^3}
$$

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5216916,"userName":"Huycindy"}

1. Phân tích bài toán

Khi nghiêng thùng sao cho mặt nước chạm vào miệng thùng và đáy thùng:

• Đường kính đáy thùng là $BC = 2R = 2 \times 20 = 40$ cm.

• Chiều cao thùng là đoạn $AB$.

• Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $B$.

• Góc giữa mặt nước và đáy cốc là $\angle ACB = 30^\circ$.

2. Tính chiều cao của thùng ($h$)

Trong tam giác vuông $ABC$, ta có:

$\tan (30^{\circ })=\frac{AB}{BC}$

$\Rightarrow h=AB=BC\cdot \tan (30^{\circ })$

$h=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\approx 23,09\text{ cm}$

3. Tính thể tích chiếc thùng ($V$)

Công thức tính thể tích hình trụ là: $V = \pi R^2 h$

$V=\pi \cdot 20^{2}\cdot \left(\frac{40\sqrt{3}}{3}\right)$

$V=400\cdot \frac{40\sqrt{3}}{3}\pi $

$V=\frac{16000\sqrt{3}}{3}\pi \text{ cm}^{3}$

Kết quả:

• Thể tích chính xác: $V = \frac{16000\sqrt{3}\pi}{3} \text{ cm}^3$

• Giá trị xấp xỉ: $V \approx 29.021 \text{ cm}^3$ (hay khoảng $29$ lít).

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5216916,"userName":"Huycindy"}

Gọi h là chiều cao thùng, r = 20 cm.

Xét thiết diện qua trục của hình trụ:

tan30° = h/(2r)

=> h = 2r.tan30°

=> h = 40.(1/√3)

=> h = 40/√3 (cm)

Mặt nước đi qua một điểm trên miệng thùng và một điểm trên đáy đối diện nên thể tích nước bằng một nửa thể tích hình trụ.

V = (1/2).πr²h

= (1/2).π.20².(40/√3)

= 8000π/√3

= 8000π√3/3 (cm³)