Chứng minh đẳng thức:
$cos^4\alpha-sin^4\alpha=2cos^2\alpha-1$

Question

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5432464,"userName":"Ngọc Anh"}

bạn tham khảo nhé ><

Timi · Answer

Để chứng minh đẳng thức

$$
\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 2\cos^2\alpha - 1,
$$

ta có thể sử dụng công thức khai thác đa thức.

Bên trái, chúng ta có thể áp dụng công thức khai thác đa thức cho hiệu của hai bình phương:

$$
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
$$

Với $ a = \cos^2\alpha $ và $ b = \sin^2\alpha $, ta có:

$$
\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha).
$$

Theo định lý Pythagore, ta có:

$$
\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1.
$$

Thay vào biểu thức, ta có:

$$
\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1 = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.
$$

Tiếp theo, chúng ta biết rằng:

$$
\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1.
$$

Như vậy, ta có thể kết luận rằng:

$$
\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.
$$

Vậy nên, chúng ta đã chứng minh được đẳng thức đã cho:

$$
\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.
$$

**Đáp án**: Đẳng thức đã được chứng minh.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5432464,"userName":"Ngọc Anh"}

Chứng minh đẳng thức:

$\cos ^{4}\alpha -\sin ^{4}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

Ta có vế trái (VT):

$VT=\cos ^{4}\alpha -\sin ^{4}\alpha $

Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$VT=(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha )(\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha )$

Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:

$VT=(\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha )\cdot 1$

$VT=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha $

Tiếp tục thay $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$ vào biểu thức:

$VT=\cos ^{2}\alpha -(1-\cos ^{2}\alpha )$

$VT=\cos ^{2}\alpha -1+\cos ^{2}\alpha $

$VT=2\cos ^{2}\alpha -1$

Vì $VT = VP$, đẳng thức đã được chứng minh.

Huycindy · Answer

Ta có:
$\cos^4\alpha - \sin^4\alpha $
$= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$
$= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) . 1$
$= \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha)$
$= 2\cos^2\alpha - 1$ (dpcm)

ft. Hoàng · Answer

Đáp án + Giải thích:

Ta có: $\cos^4\alpha - \sin^4\alpha$

$= (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2$

$= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

$= (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1$

$= \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha)$

$= \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha$

$= 2\cos^2\alpha - 1$

❦☸๖ۣۜNĭηʝα➻¢ɦéм➻ṉắռɠ✿‿✿ · Answer

$VT = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha$

$VT = (\cos^2\alpha)^2 - (\sin^2\alpha)^2$

$VT = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)$

Mà ta luôn có:

$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$

Do đó:

$VT = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot 1$

$VT = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Mặt khác, từ $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \Rightarrow \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$

Thay vào biểu thức ta được:

$VT = \cos^2\alpha - (1 - \cos^2\alpha)$

$VT = \cos^2\alpha - 1 + \cos^2\alpha$

$VT = 2\cos^2\alpha - 1$

Nhận thấy vế trái sau khi biến đổi bằng đúng vế phải.

Đẳng thức được chứng minh.

Chứng minh đẳng thức: $cos^4\alpha-sin^4\alpha=2cos^2\alpha-1$