« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $11$ $...$ u 1: Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+3}{bx+c}~(a,b,c\in\mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:,,$a)~a=b.$,$b)~f(1)f(2025).$,$c)~\max_{(-\infty;2)}f(x)=+\infty.$,d) Trong các hệ số a, b, c chỉ có một số âm.

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $11$
$...$ u 1: Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+3}{bx+c}~(a,b,c\in\mathbb{R})$ có bảng biến thiên như sau:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/2bbebe19f50648a7a88e13e97fe6d508.jpg />,$a)~a=b.$,$b)~f(1)>f(2025).$,$c)~\max_{(-\infty;2)}f(x)=+\infty.$,d) Trong các hệ số a, b, c chỉ có một số âm.

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, ta cần phân tích các điều kiện và bảng biến thiên của hàm số $ y = f(x) = \frac{ax+3}{bx+c} $.

1. **Điều kiện $ a = b $**: Điều này có nghĩa là hệ số của $ x $ trong tử số và mẫu số bằng nhau. Khi $ a = b $, hàm số có thể biến đổi và xét điểm cực trị.

2. **Điều kiện $ f(1) > f(2025) $**: Điều này yêu cầu giá trị của hàm số tại $ x = 1 $ lớn hơn giá trị tại $ x = 2025 $. Điều này có thể cần kiểm tra giá trị hàm số tại hai điểm này.

3. **Điều kiện $ \max_{(-\infty;2)} f(x) = +\infty $**: Điều này cho biết hàm số có một điểm cực đại tại $ x $ gần 2, hoặc hàm số có tiệm cận đứng (tức là mẫu số trở về 0) khi $ x $ tiến tới 2. Điều này có thể xảy ra nếu $ bx + c = 0 $ khi $ x = 2 $.

4. **Điều kiện chỉ một số âm trong các hệ số $ a, b, c $**: Điều này cần kiểm tra xem có thể có một hệ số dương và hai hệ số âm hay không hoặc hai số dương và một số âm.

**Giải thích bảng biến thiên**:
- Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể xác định được vị trí của các điểm cực trị, khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Thông thường, hàm số này có một tiệm cận đứng tại điểm làm mẫu số bằng 0.

### Phân tích điều kiện
- Nếu hàm số có cực trị tại $ x = 2 $, nghĩa là $ f(x) $ sẽ có tiệm cận tại $ x = 2 $. Điều này có thể diễn ra nếu $ c = -2b $.

### Tìm hệ số a, b, c
Giả sử:
- $ a = 1 $, $ b = 1 $, $ c = -2 $: Ta có hàm số là $ f(x) = \frac{x + 3}{x - 2} $.
- Tính $ f(1) = \frac{1 + 3}{1 - 2} = -4 $ và $ f(2025) = \frac{2025 + 3}{2025 - 2} = \frac{2028}{2023} > 0 $, không thỏa mãn.
  
Thử lại với các giá trị khác cho $ a, b, c $.

Giả sử:
- $ a = -1 $, $ b = 1 $, $ c = 2 $: Ta có $ f(x) = \frac{-x + 3}{x + 2} $.

### Tính toán:
- $ f(1) = \frac{-1 + 3}{1 + 2} = \frac{2}{3} $.
- $ f(2025) = \frac{-2025 + 3}{2025 + 2} = \frac{-2022}{2027} < 0 $, thỏa mãn điều kiện $ f(1) > f(2025) $.

### Kết luận:
- Với $ a = -1 $, $ b = 1 $, $ c = 2 $, các điều kiện đều thỏa mãn.
- Chỉ có một số âm (là $ a $) trong các hệ số.

**Đáp án**: Các hệ số là $ a = -1 $, $ b = 1 $, $ c = 2 $.

Joy · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

$$-$$Tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \infty} f(x) = \frac{a}{b}$.

$$-$$Từ bảng biến thiên, tiệm cận ngang là $y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Rightarrow \mathbf{a = b}$.

$$-$$Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu số là $x = -\frac{c}{b}$.

$$-$$Từ bảng biến thiên, tiệm cận đứng là $x = 2 \Rightarrow -\frac{c}{b} = 2 \Rightarrow \mathbf{c = -2b}$.Đạo hàm: $y' = \frac{ac - 3b}{(bx+c)^2}$.

$$-$$Vì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định nên $y' > 0 \Rightarrow ac - 3b > 0$.Thay $a = b$ và $c = -2b$ vào: $b(-2b) - 3b > 0 \Leftrightarrow -2b^2 - 3b > 0 \Leftrightarrow -b(2b + 3) > 0$.

$$-$$Giải bất phương trình: $-\frac{3}{2} < b < 0$.Vì $b < 0$ nên $\mathbf{a<0}$ (do $a=b$) và $\mathbf{c>0}$ (do $c=-2b$).

a) $a = b$: Đúng. (Đã chứng minh từ tiệm cận ngang).

b) $f(1) > f(2025)$: Đúng.

$$-$$Với $x < 2$, giá trị của $y$ chạy từ $1$ đến $+\infty \Rightarrow f(1) > 1$.

$$-$$Với $x > 2$, giá trị của $y$ chạy từ $-\infty $ đến $1 \Rightarrow f(2025) < 1$.

$$-$$Do đó $f(1) > 1 > f(2025)$.

c) $\max_{(-\infty; 2)} f(x) = +\infty$: Sai.

$$-$$Trong toán học, $+\infty $ không được coi là một giá trị lớn nhất (cực đại). Ta chỉ nói $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$. Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng này.

d) Trong các hệ số $a, b, c$ chỉ có một số âm: Sai.

$$-$$Ta đã tìm được $a < 0, b < 0$ và $c > 0$. Vậy có hai số âm ($a$ và $b$).