« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $11$ $...$

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Điều kiện để các biểu thức dưới dấu logarit có nghĩa là:

$x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1$

Với $x > -1$, biểu thức $9(x+1)^{2m}$ luôn dương với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Vậy điều kiện xác định là: $x > -1$.

Bước 2: Biến đổi phương trình

Ta biến đổi vế phải của phương trình bằng các tính chất của logarit:

$\log_9[9(x+1)^{2m}] = \log_{3^2}[9 \cdot (x+1)^{2m}] = \frac{1}{2} \log_3[9 \cdot (x+1)^{2m}]$

$\hphantom{\log_9[9(x+1)^{2m}]} = \frac{1}{2} \left[ \log_3 9 + \log_3(x+1)^{2m} \right]$

$\hphantom{\log_9[9(x+1)^{2m}]} = \frac{1}{2} \left[ 2 + 2m \log_3(x+1) \right] = 1 + m\log_3(x+1)$

Thay vào phương trình ban đầu, ta được:

$x\log_3(x+1) = 1 + m\log_3(x+1)$

$\Leftrightarrow x\log_3(x+1) - m\log_3(x+1) = 1$

$\Leftrightarrow (x - m)\log_3(x+1) = 1 \quad (*)$

Bước 3: Cô lập tham số $m$

Nhận thấy $x = 0$ không phải là nghiệm của phương trình $(*)$ vì khi đó: $(0 - m)\log_3(1) = 0 \neq 1$.

Với $x \in (-1; + \infty) \setminus \{0\}$, ta có $\log_3(x+1) \neq 0$. Do đó, phương trình $(*)$ tương đương với:

$x - m = \frac{1}{\log_3(x+1)}$

$\Leftrightarrow m = x - \frac{1}{\log_3(x+1)}$

Số nghiệm của phương trình ban đầu chính là số giao điểm của đường thẳng nằm ngang $y = m$ và đồ thị hàm số $f(x) = x - \frac{1}{\log_3(x+1)}$ trên khoảng $(-1; +\infty) \setminus \{0\}$.

Bước 4: Khảo sát hàm số $f(x)$

Xét hàm số $f(x) = x - \frac{1}{\log_3(x+1)}$ trên hai khoảng $(-1; 0)$ và $(0; +\infty)$.

1. Tính đạo hàm:

$f'(x) = 1 - \left( - \frac{[\log_3(x+1)]'}{\log_3^2(x+1)} \right) = 1 + \frac{1}{(x+1)\ln 3 \cdot \log_3^2(x+1)}$

Với mọi $x > -1$ và $x \neq 0$, ta có:

$x + 1 > 0 \Rightarrow (x+1)\ln 3 > 0$

$\log_3^2(x+1) > 0$

Do đó, $\frac{1}{(x+1)\ln 3 \cdot \log_3^2(x+1)} > 0 \Rightarrow f'(x) > 0$ với mọi $x \in (-1; 0) \cup (0; +\infty)$.

Suy ra hàm số $f(x)$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

2. Tìm các giới hạn tại đầu mút:

Khi $x \to -1^+$: $\lim_{x \to -1^+} x = -1$ và $\lim_{x \to -1^+} \log_3(x+1) = -\infty \Rightarrow \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{\log_3(x+1)} = 0$.

Vậy $\lim_{x \to -1^+} f(x) = -1$.

Khi $x \to 0^-$: $\lim_{x \to 0^-} \log_3(x+1) = 0^-$ (giá trị âm cực nhỏ) $\Rightarrow \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\log_3(x+1)} = -\infty$.

Vậy $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 - (-\infty) = +\infty$.

Khi $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} \log_3(x+1) = 0^+$ (giá trị dương cực nhỏ) $\Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\log_3(x+1)} = +\infty$.

Vậy $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 - (+\infty) = -\infty$.

Khi $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} x = +\infty$ và $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\log_3(x+1)} = 0$.

Vậy $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Bước 5: Lập bảng biến thiên và kết luận

Từ các giới hạn trên, ta có bảng biến thiên của $f(x)$:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy:

Trên khoảng $(-1; 0)$, hàm số tăng từ $-1$ đến $+\infty$. Do đó, đường thẳng $y = m$ luôn cắt nhánh này tại đúng 1 điểm khi $m > -1$.

Trên khoảng $(0; +\infty)$, hàm số tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$. Do đó, đường thẳng $y = m$ luôn cắt nhánh này tại đúng 1 điểm với mọi $m \in \mathbb{R}$.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, đường thẳng $y = m$ phải cắt cả hai nhánh của đồ thị, điều này xảy ra khi và chỉ khi:

$m > -1$

Kết luận

Vậy tất cả các giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $m > -1$.