Giải giúp tôi câu này b) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: $x^2\geq y^2+z^2$,Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac1{x^2}(y^2+z^2)+\frac{7x^2}2(\frac1{y^2}+\frac1{z^2})+2023$

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5216916,"userName":"Huycindy"}

1. Áp dụng bất đẳng thức phụ:

Với hai số thực dương $y, z$, ta có bất đẳng thức:

$\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\ge \frac{4}{y^{2}+z^{2}}$

Dấu "=" xảy ra khi $y = z$.

2. Biến đổi biểu thức $P$:

Thay bất đẳng thức trên vào $P$, ta được:

$P\ge \frac{1}{x^{2}}(y^{2}+z^{2})+\frac{7x^{2}}{2}\cdot \frac{4}{y^{2}+z^{2}}+2023$

$P\ge \frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}}+\frac{14x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+2023$

3. Đặt ẩn phụ:

Đặt $t = \frac{x^2}{y^2 + z^2}$.

Từ giả thiết $x^2 \ge y^2 + z^2$ và $x, y, z > 0$, ta suy ra $t \ge 1$.

Khi đó:

$P\ge \frac{1}{t}+14t+2023$

4. Sử dụng phương pháp chọn điểm rơi (AM-GM):

Ta tách biểu thức để áp dụng bất đẳng thức AM-GM tại $t=1$:

$P\ge \left(\frac{1}{t}+t\right)+13t+2023$

Vì $t \ge 1$:

• Áp dụng AM-GM: $\frac{1}{t} + t \ge 2\sqrt{\frac{1}{t} \cdot t} = 2$. (Tuy nhiên, vì $t \ge 1$ nên giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{t} + t$ đạt được tại $t=1$, bằng 2).

• $13t \ge 13(1) = 13$.

Cộng các vế lại:

$P\ge 2+13+2023=2038$

5. Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2038.

Dấu "=" xảy ra khi:

• $y = z$

• $t = 1 \Rightarrow x^2 = y^2 + z^2$

• Vậy $x^2 = 2y^2 = 2z^2$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \frac{1}{x^2}(y^2 + z^2) + \frac{7x^2}{2} \left( \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \right) + 2023 $ với điều kiện $ x^2 \geq y^2 + z^2 $, chúng ta có thể thực hiện các bước như sau:

1. **Thay thế biến**: Đặt $ y^2 = a $ và $ z^2 = b $, lúc này ta có điều kiện $ x^2 \geq a + b $. Biểu thức $ P $ trở thành:
   $$
   P = \frac{1}{x^2}(a + b) + \frac{7x^2}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) + 2023
   $$

2. **Áp dụng điều kiện**: Từ điều kiện $ x^2 \geq a + b $, ta có $ \frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{a+b} $. Từ đó, ta có thể tìm giá trị lớn nhất của biểu thức với điều kiện này.

3. **Công thức AM-GM**: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $ a $ và $ b $:
   $$
   \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}
   $$
   Khi thay vào $ P $, ta có:
   $$
   P \geq \frac{1}{x^2}(a + b) + \frac{7x^2}{2} \cdot \frac{4}{a + b} + 2023
   $$

4. **Giảm thiểu**: Để tối thiểu hóa $ P $, chúng ta chọn $ x^2 = a + b $. Khi đó $ P $ trở thành:
   $$
   P = \frac{1}{x^2}(x^2) + \frac{7x^2}{2} \cdot \frac{4}{x^2} + 2023 = 1 + 14 + 2023 = 2038
   $$

5. **Kiểm tra điều kiện**: Kiểm tra xem có tồn tại giá trị $ x, y, z $ thỏa mãn điều kiện ban đầu:
   - Chọn $ y = z = 1 $, khi đó $ a = b = 1 $ và $ x^2 = 2 $. Ta có $ x = \sqrt{2} $, thỏa mãn $ x^2 = 2 \geq 1 + 1 = 2 $.

Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P $ là:
$$
\boxed{2038}
$$

Hurricane · Answer

{"userId":5216916,"userName":"Huycindy"}

$$P = \dfrac{1}{x^{2}} (y^{2} + z^{2}) + \dfrac{7x^{2}}{2} \left( \dfrac{1}{y^{2}} + \dfrac{1}{z^{2}} ight) + 2023$$

Áp dụng $$BĐT: \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a + b}$$ ta được:

$$P \ge \dfrac{y^{2} + z^{2}}{x^{2}} + \dfrac{14x^{2}}{y^{2} + z^{2}} + 2023$$

$$P \ge \dfrac{y^{2} + z^{2}}{x^{2}} + \dfrac{x^{2}}{y^{2} + z^{2}} + \dfrac{13x^{2}}{y^{2} + z^{2}} + 2023$$

Áp dụng bất đẳng thức $$AM-GM$$ và $$x^{2} \ge y^{2} + z^{2}$$ ta được:

$$P \ge 2\sqrt{ \dfrac{y^{2} + z^{2}}{x^{2}} . \dfrac{x^{2}}{y^{2} + z^{2}} } + \dfrac{13(y^{2} + z^{2})}{y^{2} + z^{2}} + 2023 = 2038$$

Dấu $$"="$$ xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{cases} y^{2}=z^{2}\x^{2}=y^{2}+z^{2}\\dfrac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}}=\dfrac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}} \end{cases}$

$$\Rightarrow y = z = \dfrac{x}{\sqrt{2}}$$

Vậy $$GTNN$$ của $$P$$ là $$2038$$, đạt được khi $$y = z = \dfrac{x}{\sqrt{2}}$$