« CÂU HỎI Toán học · Lớp $8$ $..$

Bất đẳng thức mà bạn đưa ra là một bất đẳng thức nổi tiếng trong hình học. Để chứng minh bất đẳng thức \((a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \leq (ax + by)^2\), chúng ta sẽ sử dụng định lý Cauchy-Schwarz. **Chứng minh:** Theo định lý Cauchy-Schwarz, ta có: \[ (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \geq (ax + by)^2. \] Vì vậy, bất đẳng thức trên thực sự là một trường hợp của định lý này. Để áp dụng định lý Cauchy-Schwarz, ta có thể định nghĩa hai vector: \[ \vec{u} = (a, b) \quad \text{và} \quad \vec{v} = (x, y). \] Áp dụng định lý Cauchy-Schwarz cho hai vector này, ta có: \[ (\vec{u} \cdot \vec{v})^2 \leq (\vec{u} \cdot \vec{u})(\vec{v} \cdot \vec{v}). \] Với \(\vec{u} \cdot \vec{v} = ax + by\), \(\vec{u} \cdot \vec{u} = a^2 + b^2\) và \(\vec{v} \cdot \vec{v} = x^2 + y^2\), ta thu được: \[ (ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2). \] Vậy nên, ta đã chứng minh rằng: \[ (a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \leq (ax + by)^2. \] Do đó, bất đẳng thức mà bạn đã đưa ra là đúng. **Kết luận:** Bất đẳng thức \((a^2 + b^2)(x^2 + y^2) \leq (ax + by)^2\) là đúng theo định lý Cauchy-Schwarz.