« CÂU HỎI Toán học · Lớp $7$ $...$

Bước 1: Phân tích điều kiện (iii) để giới hạn các biến

Từ điều kiện $(iii)$:

$p_2 + p_3 = p_1^n(p_1 + p_3) = p_1^{n+1} + p_1^n p_3$

$\Leftrightarrow p_2 = p_1^{n+1} + p_3(p_1^n - 1)$

Nếu $p_1 \ge 3$:

Vì $n \ge 1$, ta có $p_1^{n+1} \ge 3^2 = 9$ và $p_1^n - 1 \ge 2$.

Do $p_3$ là số nguyên tố nên $p_3 \ge 2$.

Khi đó: $p_2 \ge 3^2 + 2(3^1 - 1) = 9 + 4 = 13 > 9$ (thỏa mãn điều kiện $p_2 > 9$).

Nếu $p_1 = 2$:

Thay $p_1 = 2$ vào phương trình trên:

$p_2 = 2^{n+1} + p_3(2^n - 1)$

Bước 2: Xét tính chẵn lẻ của các số nguyên tố từ điều kiện (ii)

Từ điều kiện $(ii)$: $p_1 + p_2 = 3p$.

Nếu cả $p_1$ và $p_2$ đều là các số nguyên tố lẻ thì tổng $p_1 + p_2$ là một số chẵn $\Rightarrow 3p$ chẵn $\Rightarrow p = 2$.

Nếu $p = 2$, thì $3p = 6 \Rightarrow p_1 + p_2 = 6$.

Vì $p_1, p_2$ là các số nguyên tố nên cặp $(p_1, p_2)$ chỉ có thể là $(3, 3)$. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết $p_2 > 9$.

Do đó, trong hai số $p_1$ và $p_2$, phải có một số bằng 2.

Vì $p_2 > 9$ nên $p_2$ chắc chắn là số nguyên tố lẻ.

Từ đây suy ra bắt buộc: $p_1 = 2$.

Bước 3: Tìm $n$ và $p_3$ từ điều kiện (iii) khi $p_1 = 2$

Thay $p_1 = 2$ vào biểu thức ở Bước 1:

$p_2 = 2^{n+1} + p_3(2^n - 1)$

Bây giờ ta xét điều kiện $(i)$: $p_1 + p_3^n = 2 + p_3^n$ là một số nguyên tố.

Nếu $p_3 = 2$: $2 + 2^n$ là số nguyên tố. Điều này chỉ đúng khi $n = -1$ hoặc $n = 0$ (vô lý vì $n$ là số nguyên dương). Với $n \ge 1$, $2 + 2^n$ luôn là số chẵn lớn hơn 2 nên không thể là số nguyên tố.

Do đó, $p_3$ phải là số nguyên tố lẻ $\Rightarrow p_3^n$ luôn là số lẻ.

Khi đó, $p_1 + p_3^n = 2 + p_3^n$ là một số lẻ, có cơ hội là số nguyên tố.

Xét tính chia hết cho 3 của biểu thức $p_2 = 2^{n+1} + p_3(2^n - 1)$:

Nếu $n$ là số chẵn: Ta có $2^n \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow 2^n - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Đồng thời, với $n$ chẵn thì $n+1$ lẻ $\Rightarrow 2^{n+1} \equiv 2 \pmod{3}$.

Suy ra: $p_2 \equiv 2 + p_3 \cdot 0 \equiv 2 \pmod{3}$.

Nếu $n$ là số lẻ: Ta có $2^n \equiv 2 \pmod{3} \Rightarrow 2^n - 1 \equiv 1 \pmod{3}$.

Đồng thời, với $n$ lẻ thì $n+1$ chẵn $\Rightarrow 2^{n+1} \equiv 1 \pmod{3}$.

Suy ra: $p_2 \equiv 1 + p_3 \cdot 1 \equiv 1 + p_3 \pmod{3}$.

Kết hợp với điều kiện $(ii)$: $2 + p_2 = 3p \Rightarrow p_2 = 3p - 2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Từ lập luận trên, nếu $n$ chẵn thì $p_2 \equiv 2 \pmod{3}$ (mâu thuẫn).

Do đó, $n$ bắt buộc phải là số lẻ.

Khi $n$ lẻ, ta có $p_2 \equiv 1 + p_3 \pmod{3}$. Để $p_2 \equiv 1 \pmod{3}$ thì $p_3 \pmod{3}$ phải bằng $0$.

Vì $p_3$ là số nguyên tố nên số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3 là $p_3 = 3$.

Bước 4: Tìm $n$ dựa vào các dữ kiện thu gọn

Thay $p_1 = 2, p_3 = 3$ vào các điều kiện:

Từ $(i)$: $2 + 3^n$ là số nguyên tố.

Từ $(iii)$: $p_2 = 2^{n+1} + 3(2^n - 1) = 2 \cdot 2^n + 3 \cdot 2^n - 3 = 5 \cdot 2^n - 3$.

Vì $n$ là số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 11, ta xét các giá trị $n \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$:

Với $n = 1$:

$2 + 3^1 = 5$ (là số nguyên tố - Thỏa mãn).

$p_2 = 5 \cdot 2^1 - 3 = 7$ (Không thỏa mãn vì điều kiện bài cho $p_2 > 9$).

Với $n = 3$:

$2 + 3^3 = 29$ (là số nguyên tố - Thỏa mãn).

$p_2 = 5 \cdot 2^3 - 3 = 37$ (là số nguyên tố và $> 9$ - Thỏa mãn).

Tính $p$ từ điều kiện $(ii)$: $2 + 37 = 3p \Rightarrow 39 = 3p \Rightarrow p = 13$ (là số nguyên tố - Thỏa mãn).

(Nếu thử tiếp với $n=5 \Rightarrow p_2 = 5 \cdot 32 - 3 = 157$, khi đó $2 + 157 = 159$ chia hết cho 3 nên $3p = 159 \Rightarrow p = 53$, nhưng điều kiện $(i)$ là $2 + 3^5 = 245$ không phải số nguyên tố vì chia hết cho 5).

Vậy bộ số thỏa mãn duy nhất là:

$n = 3, \quad p_1 = 2, \quad p_2 = 37, \quad p_3 = 3, \quad p = 13$

Bước 5: Tính giá trị biểu thức yêu cầu

Biểu thức cần tính là: $P = p_1 p_2 p_3^n + p - n$

Thay các giá trị vừa tìm được vào:

$P = 2 \cdot 37 \cdot 3^3 + 13 - 3$

$P = 74 \cdot 27 + 10$

$P = 1998 + 10 = 2008$

Kết quả cuối cùng: Giá trị của biểu thức là 2008.