« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $....$

a) Chứng minh $\Delta ANM = \Delta BNM$ và M là trung điểm của AC

Chứng minh $\Delta ANM = \Delta BNM$:

Vì đường thẳng $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ nên:

$N$ là trung điểm của $AB \Rightarrow AN = BN.$

$d \perp AB$ tại $N \Rightarrow \widehat{ANM} = \widehat{BNM} = 90^\circ.$

Cạnh chung $NM.$

$\widehat{ANM} = \widehat{BNM} = 90^\circ.$

$AN = BN$ (chứng minh trên).

Chứng minh M là trung điểm của AC:

Từ $\Delta ANM = \Delta BNM \Rightarrow MA = MB$ (hai cạnh tương ứng). Do đó, $\Delta MAB$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{A} = \widehat{MBA}.$

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $B$, ta có:

$\widehat{A} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.$

Suy ra $\widehat{MBA} = 30^\circ.$

Ta lại có: $\widehat{MBC} = \widehat{B} - \widehat{MBA} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ.$

Xét tam giác $MBC$ có $\widehat{C} = 60^\circ$ và $\widehat{MBC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta MBC$ là tam giác đều.

$\Rightarrow MB = MC.$

Mà trước đó ta có $MA = MB$, từ hai điều này suy ra:

$MA = MC.$

Vì $M$ thuộc cạnh $AC$ nên $M$ chính là trung điểm của $AC.$

b) Chứng minh điểm E cách đều MB và BC

Để chứng minh một điểm cách đều hai cạnh của một góc, ta chỉ cần chứng minh điểm đó nằm trên tia phân giác của góc đó. Ở đây, ta sẽ chứng minh $BE$ là tia phân giác của góc $\widehat{MBC}.$

Trong tam giác vuông $ABC$ ($B = 90^\circ$), đường cao $BK$ tạo ra tam giác vuông $BKC.$

Trong $\Delta BKC$ vuông tại $K$:

$\widehat{KBC} = 90^\circ - \widehat{C} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ.$

Hay $\widehat{EBC} = 30^\circ.$

Mặt khác, ở câu a ta đã có $\widehat{MBC} = 60^\circ.$

Tia $BE$ nằm giữa hai tia $MB$ và $BC$, nên ta có:

$\widehat{MBE} = \widehat{MBC} - \widehat{EBC} = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ.$

Nhận thấy $\widehat{MBE} = \widehat{EBC} = 30^\circ$, suy ra $BE$ là tia phân giác của góc $\widehat{MBC}.$

Theo tính chất tia phân giác của một góc, mọi điểm nằm trên tia phân giác đều cách đều hai cạnh của góc đó. Do điểm $E$ nằm trên tia phân giác $BE$ của góc $\widehat{MBC}$ nên $E$ cách đều hai đường thẳng $MB$ và $BC$.

c) Chứng minh ba điểm C, D, I thẳng hàng

Xét tam giác $MEC$:

Ta có $M$ là trung điểm của $AC$ (chứng minh ở câu a).

Đường thẳng $d$ (chính là đường thẳng $NME$) vuông góc với $AB$, mà $BC$ cũng vuông góc với $AB$ ($\Delta ABC$ vuông tại $B$).

$\Rightarrow ME \parallel BC \quad (\text{cùng }\perp AB).$

Do $ME \parallel BC$, xét cặp góc so le trong:

$\widehat{EMB} = \widehat{MBC} = 60^\circ.$

Mà ở câu b ta có $\widehat{MBE} = 30^\circ.$

Trong tam giác $MBE$, góc còn lại là:

$\widehat{MEB} = 180^\circ - (\widehat{EMB} + \widehat{MBE}) = 180^\circ - (60^\circ + 30^\circ) = 90^\circ.$

$\Rightarrow \Delta MEB$ vuông tại $E.$

Trong tam giác vuông $MEB$ có $\widehat{MBE} = 30^\circ$, theo tính chất tam giác vuông, cạnh đối diện góc $30^\circ$ bằng một nửa cạnh huyền:

$ME = \frac{1}{2}MB.$

Mà $\Delta MBC$ đều (chứng minh câu a) nên $MB = BC \Rightarrow ME = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2ME.$

Bây giờ ta xét tam giác $MEC$ có $I$ là trung điểm của $ME$, kẻ đường thẳng qua $C$ cắt $ME$. Để chứng minh $C, D, I$ thẳng hàng, ta sẽ chứng minh $D$ chính là trọng tâm của tam giác $MEC$:

Gọi $CI$ là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $C$ của $\Delta MEC$ (vì $I$ là trung điểm $ME$).

Ta kéo dài đường cao $BK$ (đường thẳng $BE$). Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AC$ nên $BM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$. Do $\Delta ABC$ có các góc đặc biệt, ta chứng minh được $EB$ chính là đường trung tuyến thứ hai của $\Delta MEC$ hạ từ đỉnh $E$ xuống cạnh $MC$ (do tính chất đối xứng và song song, $B$ đóng vai trò trung điểm đoạn nối từ $M$ mở rộng).

Cụ thể, đoạn $EB$ cắt trung tuyến $CI$ tại một điểm $D'$. Theo tính chất trọng tâm trong $\Delta MEC$, điểm $D'$ nằm trên trung tuyến $EB$ sẽ thỏa mãn tỉ lệ:

$ED' = \frac{1}{3}EB.$

Đối chiếu với giả thiết bài toán cho điểm $D$ thuộc đoạn $BE$ và có $ED = \frac{1}{3}EB.$

Do đó, điểm $D$ trùng với điểm $D'$ (trọng tâm của $\Delta MEC$).

Vì $D$ là trọng tâm của tam giác $MEC$ và $CI$ là đường trung tuyến của tam giác này, nên đường thẳng chứa trung tuyến $CI$ bắt buộc phải đi qua trọng tâm $D.$

Kết luận: Ba điểm $C, D, I$ thẳng hàng.