« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $7$
$...$ Câu III (4,0 điểm).,1) Cho số nguyên n $(n1)$ thỏa mãn $n^2+4$ và $n^2+16$ là các số nguyên tố. Chứng minh,n chia hết cho 5.,2) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết $a^3-b^3-c^3=3abc$ và $a^2=2(b+c).$

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $7$
$...$ Câu III (4,0 điểm).,1) Cho số nguyên n $(n>1)$ thỏa mãn $n^2+4$ và $n^2+16$ là các số nguyên tố. Chứng minh,n chia hết cho 5.,2) Tìm các số nguyên dương a,b,c biết $a^3-b^3-c^3=3abc$ và $a^2=2(b+c).$

Joy · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

1) Chứng minh $n$ chia hết cho 5Xét các trường hợp của số nguyên $n$ khi chia cho 5:

$$-$$Nếu $n$ không chia hết cho 5, thì $n^{2}$ khi chia cho 5 chỉ có thể dư 1 hoặc 4.

$$-$$Trường hợp 1: $n^{2}$ chia 5 dư 1 ($n^2 = 5k + 1$).Khi đó: $n^2 + 4 = 5k + 1 + 4 = 5k + 5$, số này chia hết cho 5.Vì $n > 1$ nên $n^2 + 4 > 5$, dẫn đến $n^2 + 4$ là hợp số (trái với đề bài là số nguyên tố).

$$-$$Trường hợp 2: $n^{2}$ chia 5 dư 4 ($n^2 = 5k + 4$).

Khi đó: $n^2 + 16 = 5k + 4 + 16 = 5k + 20$, số này chia hết cho 5.

Vì $n > 1$ nên $n^2 + 16 > 5$, dẫn đến $n^2 + 16$ là hợp số (trái với đề bài).

$$=>$$Kết luận: Để cả $n^2 + 4$ và $n^2 + 16$ là số nguyên tố thì $n^{2}$ phải chia hết cho 5. Vì 5 là số nguyên tố nên $n$ chia hết cho 5.

2) Tìm các số nguyên dương $a, b, c$

Từ đẳng thức: $a^3 - b^3 - c^3 = 3abc$

$\Rightarrow a^3 = b^3 + c^3 + 3abc$

Ta có hằng đẳng thức: $(b+c)^3 = b^3 + c^3 + 3bc(b+c)$

Nhận thấy nếu $a = b + c$ thì:$a^3 = (b+c)^3 = b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = b^3 + c^3 + 3abc$ (đúng với giả thiết).

(Với chương trình lớp 7, ta thừa nhận từ $a^3 - b^3 - c^3 = 3abc$ suy ra $a = b + c$ vì $a, b, c$ dương).

Thay $b + c = a$ vào phương trình thứ hai:

$a^{2}=2(b+c)$

$a^{2}=2a$

Vì $a$ là số nguyên dương ($a > 0$), chia cả hai vế cho $a$ ta được:

$a=2$

Vì $b + c = a = 2$ và $b, c$ là các số nguyên dương nên:

$b=1,c=1$

Vậy bộ số cần tìm là: $(a; b; c) = (2; 1; 1)$.

Timi · Answer

**Giải:**

**1)** Cho số nguyên $ n $ thỏa mãn $ n^2 + 4 $ và $ n^2 + 16 $ là các số nguyên tố.

Đầu tiên, ta xét điều kiện $ n^2 + 4 $ và $ n^2 + 16 $. Đặt:

- $ p = n^2 + 4 $
- $ q = n^2 + 16 $

Ta thấy $ q - p = (n^2 + 16) - (n^2 + 4) = 12 $, tức là $ q = p + 12 $.

Nếu $ p $ và $ q $ đều là số nguyên tố, thì $ p $ phải là số nguyên tố lẻ (trừ trường hợp $ p = 2 $). Tuy nhiên, nếu $ p = 2 $ thì:

$$
n^2 + 4 = 2 \Rightarrow n^2 = -2 \text{ (không có nghiệm thực)}
$$

Vậy $ p $ phải là số nguyên tố lẻ. Ta xét các trường hợp $ n $ modulo 5:

- Nếu $ n \equiv 0 \mod 5 $: $ n^2 \equiv 0 \mod 5 $ $ \Rightarrow n^2 + 4 \equiv 4 \mod 5 $ (không phải số nguyên tố)
- Nếu $ n \equiv 1 \mod 5 $: $ n^2 \equiv 1 \mod 5 $ $ \Rightarrow n^2 + 4 \equiv 0 \mod 5 $ (không phải số nguyên tố)
- Nếu $ n \equiv 2 \mod 5 $: $ n^2 \equiv 4 \mod 5 $ $ \Rightarrow n^2 + 4 \equiv 3 \mod 5 $ (có thể là số nguyên tố)
- Nếu $ n \equiv 3 \mod 5 $: $ n^2 \equiv 4 \mod 5 $ $ \Rightarrow n^2 + 4 \equiv 3 \mod 5 $ (có thể là số nguyên tố)
- Nếu $ n \equiv 4 \mod 5 $: $ n^2 \equiv 1 \mod 5 $ $ \Rightarrow n^2 + 4 \equiv 0 \mod 5 $ (không phải số nguyên tố)

Như vậy, $ n $ chỉ có thể là $ 2 \mod 5 $ hoặc $ 3 \mod 5 $.

Tuy nhiên, xét thêm các trường hợp:

Khi $ n $ là số chẵn (giả sử $ n = 2k $):

$$
n^2 + 4 = 4k^2 + 4 = 4(k^2 + 1) \text{ (chỉ có khi } k = 0 \text{ thì mới là nguyên tố 2)}
$$

Khi $ n $ là số lẻ (giả sử $ n = 2k + 1 $):

$$
n^2 + 4 = (2k + 1)^2 + 4 = 4k^2 + 4k + 5 \Rightarrow \text{ lúc này phải là số nguyên tố.}
$$

Cuối cùng, để cho $ n^2 + 4 $ và $ n^2 + 16 $ là số nguyên tố, ta sẽ thấy rằng $ n $ chỉ có thể là $ 5 $ hoặc $ n \equiv 0 \mod 5 $. Điều này chứng minh rằng $ n $ chia hết cho $ 5 $.

**Kết luận:** $ n $ chia hết cho $ 5 $.

**2)** Tìm các số nguyên dương $ a, b, c $ biết $ a^3 - b^3 - c^3 = 3abc $ và $ a^2 = 2(b+c) $.

Ta có thể sử dụng công thức:

$$
a^3 - b^3 - c^3 = (a-b-c)(a^2 + (b+c)a + (b^2 + c^2))
$$

Vì vậy, điều kiện đầu tiên sẽ trở thành:

$$
a - b - c = 3bc \text{ (nếu } a^2 + (b+c)a + (b^2 + c^2) \neq 0 \text{)}
$$

Ta cũng có $ a^2 = 2(b+c) $ và từ đó, ta sẽ thay thế vào và giải hệ phương trình.

Từ điều kiện $ a^2 = 2(b+c) $, ta có:

$$
b+c = \frac{a^2}{2}
$$

Ta thay $ b+c $ vào $ a - b - c = 3bc $:

$$
a - \frac{a^2}{2} = 3bc \Rightarrow 2a - a^2 = 6bc \Rightarrow a^2 - 2a + 6bc = 0
$$

Giải phương trình này cho $ a $, ta sẽ tìm được các giá trị $ b, c $ tương ứng với $ a $.

Thực hiện một số thử nghiệm với các giá trị nguyên dương của $ a $ có thể là 1, 2, 3, 4, ...

Sau khi thử nghiệm các giá trị:

- Nếu $ a = 6 $:
$$
b+c = \frac{6^2}{2} = 18
$$

Và $ b, c $ cần thỏa mãn $ 3bc = 6 - (b+c) \Rightarrow 3bc = 6 - 18 \Rightarrow 3bc = -12 \text{ (không hợp lệ)}$

Tiếp tục thử nghiệm, ta tìm ra:

- Nếu $ a = 4 $:
$$
b+c = \frac{4^2}{2} = 8
$$

Dễ dàng tìm ra cặp $ b, c $ mà $ b = 2, c = 6 $ hoặc các hoán vị khác.

Cuối cùng, các cặp $ (a, b, c) $ sẽ có dạng $ (4, 2, 6) $.

**Kết luận:** Các số nguyên dương là $ a = 4, b = 2, c = 6 $ hoặc các hoán vị của chúng.

ft. Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Ta có: Vì $n$ là số nguyên nên khi chia $n$ cho $5$, số dư có thể là $0, \pm 1, \pm 2$.

Nếu $n = 5k \pm 1$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Rightarrow n^2 = (5k \pm 1)^2 = 25k^2 \pm 10k + 1 \Rightarrow n^2$ chia $5$ dư $1$.

$\Rightarrow n^2 + 4 \ \vdots \ 5$.

Vì $n > 1 \Rightarrow n^2 + 4 > 5$, mà $n^2 + 4$ là số nguyên tố nên điều này là vô lý.

Nếu $n = 5k \pm 2$ ($k \in \mathbb{Z}$) $\Rightarrow n^2 = (5k \pm 2)^2 = 25k^2 \pm 20k + 4 \Rightarrow n^2$ chia $5$ dư $4$.

$\Rightarrow n^2 + 16 = n^2 + 1 + 15 \ \vdots \ 5$.

Vì $n > 1 \Rightarrow n^2 + 16 > 17 > 5$, mà $n^2 + 16$ là số nguyên tố nên điều này cũng vô lý.

Vậy $n$ phải chia hết cho $5$.

Ta có: Từ giả thiết $a^3 - b^3 - c^3 = 3abc \Rightarrow a^3 + (-b)^3 + (-c)^3 - 3a(-b)(-c) = 0$.

$\Rightarrow (a - b - c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab - bc + ca) = 0$.

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}(a - b - c)[(a + b)^2 + (b - c)^2 + (c + a)^2] = 0$.

Vì $a, b, c$ là các số nguyên dương nên $a + b > 0, c + a > 0 \Rightarrow (a + b)^2 + (b - c)^2 + (c + a)^2 > 0$.

Do đó phải có $a - b - c = 0 \Rightarrow a = b + c$.

Thay $b + c = a$ vào đẳng thức thứ hai $a^2 = 2(b + c)$, ta được:

$a^2 = 2a$.

Vì $a$ là số nguyên dương ($a > 0$) nên ta chia cả hai vế cho $a \Rightarrow a = 2$.

Từ đó suy ra $b + c = 2$.

Vì $b, c$ là các số nguyên dương nên chỉ có trường hợp duy nhất là $b = 1$ và $c = 1$.

Vậy các số nguyên dương cần tìm là $a = 2, b = 1, c = 1$.

minhanhphung · Answer

Giả sử n không chia hết cho 5.

Vì n là số nguyên nên khi chia cho 5, n chỉ có thể có các số dư là 1, 2, 3, 4.

Xét các trường hợp của n:

Trường hợp 1: n chia 5 dư 1 hoặc 4

$n = 5k \pm 1$ (với k là số nguyên dương)

$n^2 = (5k \pm 1)^2$

$n^2 = 25k^2 \pm 10k + 1$

Do đó $n^2$ chia 5 dư 1.

Khi đó:

$n^2 + 4$ chia hết cho 5.

Vì $n > 1$ nên $n^2 + 4 > 5$.

Suy ra $n^2 + 4$ là hợp số, mâu thuẫn với giả thiết $n^2 + 4$ là số nguyên tố.

Trường hợp 2: n chia 5 dư 2 hoặc 3

$n = 5k \pm 2$ (với k là số nguyên dương)

$n^2 = (5k \pm 2)^2$

$n^2 = 25k^2 \pm 20k + 4$

Do đó $n^2$ chia 5 dư 4.

Khi đó:

$n^2 + 16$ chia hết cho 5.

Vì $n > 1$ nên $n^2 + 16 > 17 > 5$.

Suy ra $n^2 + 16$ là hợp số, mâu thuẫn với giả thiết $n^2 + 16$ là số nguyên tố.

Vậy điều giả sử là sai, n phải chia hết cho 5.

Ta có phương trình ban đầu:

$a^3 - b^3 - c^3 = 3abc$

$a^3 + (-b)^3 + (-c)^3 - 3a(-b)(-c) = 0$

$(a - b - c)(a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac - bc) = 0$

Xét thừa số thứ hai:

$a^2 + b^2 + c^2 + ab + ac - bc = \frac{1}{2}[(a+b)^2 + (a+c)^2 + (b-c)^2]$

Vì a, b, c là các số nguyên dương nên $a+b > 0$ và $a+c > 0$.

Do đó:

$\frac{1}{2}[(a+b)^2 + (a+c)^2 + (b-c)^2] > 0$

Từ đây ta suy ra:

$a - b - c = 0$

$a = b + c$

Thay $b + c = a$ vào phương trình thứ hai $a^2 = 2(b+c)$, ta được:

$a^2 = 2a$

$a^2 - 2a = 0$

$a(a - 2) = 0$

Vì a là số nguyên dương nên $a > 0$, do đó:

$a = 2$

Thay $a = 2$ vào biểu thức $a = b + c$, ta có:

$b + c = 2$

Vì b, c là các số nguyên dương nên chỉ có một trường hợp thỏa mãn:

$b = 1$

$c = 1$

Vậy các số nguyên dương cần tìm là:

$a = 2, b = 1, c = 1$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $7$ $...$