$\frac {1}{2} $ $+$ $\frac {1}{6}$ $+$ $\frac{1}{12}$ $+$ $\frac {1}{20}$ $+...+$ $\frac {1}{90}$ Tính

Để tính tổng của dãy số $\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \ldots + \frac{1}{90}$, trước hết ta cần xác định mẫu số của các phân số. Các mẫu số ở đây có thể được nhận diện là các số chính phương. Cụ thể: - $\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$ - $\frac{1}{6} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2 \cdot (2 + 1)}$ - $\frac{1}{12} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{(3 - 1)(3 + 1)}$ - $\frac{1}{20} = \frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{(4 - 1)(4 + 1)}$ - ... Ta nhận thấy rằng mẫu số trong dãy số là các số có dạng n(n + 1) với n bắt đầu từ 1. Vì vậy, chúng ta sẽ tổng hợp từ $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 \cdot 2}$ cho đến $\frac{1}{90} = \frac{1}{9 \cdot 10}$. Tổng này có thể được tính như sau: \[ \sum_{n=1}^{9} \frac{1}{n(n+1)} \] Chúng ta sử dụng công thức phân tích phân số: \[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \] Khi đó, tổng trở thành: \[ \sum_{n=1}^{9} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \] Sử dụng tính chất này, chúng ta thấy rằng các số sẽ bị triệt tiêu: \[ \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right) \] Các phần giữa sẽ triệt tiêu, và chúng ta sẽ còn lại: \[ 1 - \frac{1}{10} = \frac{10}{10} - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \] Vậy tổng của dãy số là: \[ \boxed{\frac{9}{10}} \]