« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Tìm tất cả nghiệm thực,$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}=\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+...}}}$

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

Điều kiện xác định: $x \ge 0$

Đặt $y = \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x + \dots}}}$ với $y \ge 0$

Suy ra: $y = \sqrt{x + y}$

$\Leftrightarrow y^2 = x + y$

$\Leftrightarrow x = y^2 - y$

Đặt $z = \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \sqrt[3]{x + \dots}}}$

Suy ra: $z = \sqrt[3]{x + z}$

$\Leftrightarrow z^3 = x + z$

$\Leftrightarrow x = z^3 - z$

Từ đó ta có hệ phương trình:

$y^2 - y = z^3 - z$

$\Leftrightarrow y^2 - z^3 - y + z = 0$

Trường hợp 1: $x = 0$

Thay vào hai biểu thức ban đầu, ta được $y = 0$ và $z = 0$.

Giá trị $x = 0$ thỏa mãn phương trình.

Trường hợp 2: $x > 0$

Vì $x > 0$ nên $y > 0$ và $z > 0$.

Do $x = y^2 - y = y(y - 1) > 0 \Rightarrow y > 1$.

Do $x = z^3 - z = z(z^2 - 1) > 0 \Rightarrow z > 1$.

Mặt khác, ta có phương trình ban đầu tương đương với $y = z$.

Thay $y = z$ vào hệ thức của $x$, ta được:

$z^2 - z = z^3 - z$

$\Leftrightarrow z^3 - z^2 = 0$

$\Leftrightarrow z^2(z - 1) = 0$

Vì $z > 1$ nên $z - 1 > 0$ và $z^2 > 1$, dẫn đến phương trình $z^2(z - 1) = 0$ vô nghiệm trong khoảng này.

Vậy phương trình có nghiệm thực duy nhất là $x = 0$.

Timi · Answer

Để giải phương trình $\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}=\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\ldots}}}$, trước tiên chúng ta cần xác định giá trị của các biểu thức vô hạn ở hai bên.

Gọi $y = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\ldots}}}$. Khi đó, từ định nghĩa của $y$, ta có:

$$
y = \sqrt{x + y}
$$

Bình phương hai bên, ta được:

$$
y^2 = x + y
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
y^2 - y - x = 0
$$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta có:

$$
y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}
$$

Tiếp theo, gọi $z = \sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\ldots}}}$. Tương tự, từ định nghĩa của $z$, ta có:

$$
z = \sqrt[3]{x + z}
$$

Bình phương ba bên, ta được:

$$
z^3 = x + z
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
z^3 - z - x = 0
$$

Chúng ta đã có hai biểu thức cho $y$ và $z$:

1. $y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4x}}{2}$
2. $z^3 - z - x = 0$

Bây giờ, ta cần tìm nghiệm thực cho $y = z$:

$$
\frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2} = z
$$

Và giải phương trình $z^3 - z - x = 0$ bằng cách thay giá trị của $z$ vào:

$$
\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}\right)^3 - \left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}\right) - x = 0
$$

Giải phương trình này sẽ cho chúng ta các giá trị của $x$. Tuy nhiên, để tìm nghiệm thực, ta có thể thử các giá trị đơn giản cho $x$.

1. Khi $x = 0$:
   - $y = \frac{1 + \sqrt{1}}{2} = 1$
   - $z = \sqrt[3]{0 + z} \Rightarrow z = 0$ (không thỏa mãn)

2. Khi $x = 1$:
   - $y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$
   - Giải $z^3 - z - 1 = 0$ bằng cách thử nghiệm sẽ thấy $z \approx 1$.

3. Khi $x = 2$:
   - $y = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = 2$
   - $z^3 - z - 2 = 0$ có nghiệm thực là $z = 2$.

Tiếp tục với các giá trị lớn hơn cho $x$ sẽ cho ra nhiều nghiệm hơn, nhưng từ thử nghiệm đơn giản trên, ta thấy rằng $x = 2$ là một nghiệm thỏa mãn.

Kết luận, nghiệm thực của phương trình đã cho là:

$$
\boxed{2}
$$

loankt · Answer

Xét vế trái:

Đặt $A = \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$ (với $A \ge 0$)

Bình phương hai vế ta được:

$A^2 = x + \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}$

$A^2 = x + A$

$x = A^2 - A$

Xét vế phải:

Đặt $B = \sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+...}}}$

Lập phương hai vế ta được:

$B^3 = x + \sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[3]{x+...}}}$

$B^3 = x + B$

$x = B^3 - B$

Theo giả thiết của đề bài, vế trái bằng vế phải nên ta có:

$A = B$

Thay $B = A$ vào hai biểu thức của $x$, ta có hệ phương trình đồng thời:

$x = A^2 - A$

$x = A^3 - A$

Từ đó suy ra:

$A^3 - A = A^2 - A$

$A^3 - A^2 = 0$

$A^2(A - 1) = 0$

Ta tìm được hai giá trị của $A$:

Trường hợp 1: $A = 0$

Suy ra $x = 0^2 - 0 = 0$

Trường hợp 2: $A = 1$

Suy ra $x = 1^2 - 1 = 0$

Cả hai trường hợp đều dẫn đến cùng một kết quả cho giá trị của $x$.

Vậy nghiệm thực duy nhất của phương trình là:

$x = 0$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$