« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Ví dụ 5: Xác định a ; b để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+ay=b+4\ax+by=8+9a\end{array} ight.$ có nghiệm là $x=3;y=-1$,Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\nx+y=-3\end{array} ight.$,a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm : $(x;y)=(-2;3)$,b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Ví dụ 5: Xác định a ; b để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+ay=b+4\ax+by=8+9a\end{array}ight.$ có nghiệm là $x=3;y=-1$,Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\nx+y=-3\end{array}ight.$,a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm : $(x;y)=(-2;3)$,b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Ví dụ 5:

Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình:

$\begin{cases} 2 \cdot 3 + a \cdot (-1) = b + 4 \ ax + by = 8 + 9a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 6 - a = b + 4 \ 3a - b = 8 + 9a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a + b = 2 \ 6a + b = -8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 5a = -10 \ a + b = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a = -2 \ -2 + b = 2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a = -2 \ b = 4 \end{cases}$

Vậy a = -2; b = 4.

Ví dụ 6:

a) Thay x = -2; y = 3 vào hệ phương trình:

$\begin{cases} -2 + m \cdot 3 = 4 \ n \cdot (-2) + 3 = -3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 6 \ -2n = -6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m = 2 \ n = 3 \end{cases}$

Vậy m = 2; n = 3.

b) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi và chỉ khi:

$\frac{1}{n} = \frac{m}{1} = \frac{4}{-3}$ (với $n eq 0$)

$\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{1}{n} = -\frac{4}{3} \ m = -\frac{4}{3} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} n = -\frac{3}{4} \ m = -\frac{4}{3} \end{cases}$

Vậy $m = -\frac{4}{3}; n = -\frac{3}{4}$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình và tìm giá trị của $ a $ và $ b $ trong Ví dụ 5, chúng ta sẽ thay $ x = 3 $ và $ y = -1 $ vào các phương trình trong hệ.

### Ví dụ 5:

Hệ phương trình:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
2x + ay = b + 4 \
ax + by = 8 + 9a
\end{array}
\right.
$$

Thay $ x = 3 $ và $ y = -1 $ vào phương trình đầu tiên:
$$
2(3) + a(-1) = b + 4 \
6 - a = b + 4
$$
Sắp xếp lại, ta có:
$$
b = 6 - a - 4 \
b = 2 - a \quad \text{(1)}
$$

Thay $ x = 3 $ và $ y = -1 $ vào phương trình thứ hai:
$$
a(3) + b(-1) = 8 + 9a \
3a - b = 8 + 9a
$$
Sắp xếp lại, ta có:
$$
3a - 8 - 9a = b \
-6a - 8 = b \quad \text{(2)}
$$

Giải hệ phương trình từ (1) và (2):
Từ (1), ta có:
$$
b = 2 - a
$$
Thay vào (2):
$$
-6a - 8 = 2 - a
$$
Giải phương trình này:
$$
-6a + a = 2 + 8 \
-5a = 10 \
a = -2
$$

Thay $ a = -2 $ vào (1):
$$
b = 2 - (-2) \
b = 2 + 2 \
b = 4
$$

Vậy $ a = -2 $ và $ b = 4 $.

### Ví dụ 6:

a) Hệ phương trình:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x + my = 4 \
nx + y = -3
\end{array}
\right.
$$

Thay $ (x, y) = (-2, 3) $ vào phương trình đầu tiên:
$$
-2 + m(3) = 4 \
3m = 6 \
m = 2
$$

Thay $ (x, y) = (-2, 3) $ vào phương trình thứ hai:
$$
n(-2) + 3 = -3 \
-2n = -6 \
n = 3
$$

Vậy $ m = 2 $ và $ n = 3 $.

b) Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hai phương trình phải tỷ lệ với nhau. Ta cần tìm điều kiện cho $ m $ và $ n $ sao cho:
$$
\frac{1}{m} = \frac{n}{1}
$$
Thay $ m $ và $ n $ vào:
$$
\frac{1}{m} = \frac{n}{1} \Rightarrow 1 = mn
$$

Giả sử $ m = k $ thì $ n = \frac{1}{k} $ cho mọi $ k \neq 0 $. Vậy $ m $ và $ n $ có thể được chọn sao cho $ mn = 1 $.

Tóm lại:
- $ m = 2 $ và $ n = 3 $ cho câu a).
- Các giá trị của $ m $ và $ n $ cho câu b) là bất kỳ cặp số $ (m, n) $ thỏa mãn $ mn = 1 $.

minhhang · Answer

Ví dụ 5: Xác định a, b để hệ phương trình có nghiệm $x=3; y=-1$

Vì hệ phương trình đã cho có nghiệm là $(x; y) = (3; -1)$ nên ta thay $x = 3$ và $y = -1$ vào hệ phương trình. Ta được:

$\begin{cases} 2 \cdot 3 + a \cdot (-1) = b + 4 \ a \cdot 3 + b \cdot (-1) = 8 + 9a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 6 - a = b + 4 \ 3a - b = 8 + 9a \end{cases}$

Chuyển các biến $a, b$ sang một vế, hằng số sang một vế để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đối với $a$ và $b$:

$\Leftrightarrow \begin{cases} -a - b = 4 - 6 \ 3a - 9a - b = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -a - b = -2 \quad (1) \ -6a - b = 8 \quad (2) \end{cases}$

Trừ vế theo vế của phương trình (1) cho phương trình (2) để triệt tiêu $b$:

$(-a - b) - (-6a - b) = -2 - 8$

$\Leftrightarrow 5a = -10 \Leftrightarrow a = -2$

Thay $a = -2$ vào phương trình (1):

$-(-2) - b = -2 \Leftrightarrow 2 - b = -2 \Leftrightarrow b = 4$

Kết luận: Vậy với $a = -2$ và $b = 4$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm $x=3; y=-1$.

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\nx+y=-3\end{array} ight.$

a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (-2; 3)$

Thay $x = -2$ và $y = 3$ vào hệ phương trình ta được:

$\begin{cases} -2 + m \cdot 3 = 4 \ n \cdot (-2) + 3 = -3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 4 + 2 \ -2n = -3 - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 6 \ -2n = -6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 2 \ n = 3 \end{cases}$

Kết luận: Vậy với $m = 2$ và $n = 3$ thì hệ phương trình có nghiệm $(-2; 3)$.

b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm

Một cách tổng quát, hệ phương trình dạng $\begin{cases} Ax + By = C \ A'x + B'y = C' \end{cases}$ (với các hệ số $A', B', C' eq 0$) có vô số nghiệm khi và chỉ khi các hệ số tương ứng tỉ lệ với nhau:

$\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'}$

Áp dụng vào hệ phương trình $\begin{cases} 1x + my = 4 \ nx + 1y = -3 \end{cases}$, điều kiện để hệ có vô số nghiệm là:

$\frac{1}{n} = \frac{m}{1} = \frac{4}{-3}$

Từ dãy tỉ số này, ta tách ra để tìm riêng từng biến:

Tìm $n$:

$\frac{1}{n} = \frac{4}{-3} \Rightarrow n = \frac{1 \cdot (-3)}{4} = -\frac{3}{4}$

Tìm $m$:

$\frac{m}{1} = \frac{4}{-3} \Rightarrow m = -\frac{4}{3}$

Kết luận: Vậy với $m = -\frac{4}{3}$ và $n = -\frac{3}{4}$ thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$

Ví dụ 5: Xác định a, b để hệ phương trình có nghiệm $x=3; y=-1$

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\\nx+y=-3\end{array}\right.$

a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (-2; 3)$

b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm